On Steady Ideal Flows with Nonvanishing Vorticity in Cylindrical Domains

A paper by Alber shows the existence of steady, inviscid incompressible flows with nonvanishing vorticity for general three-dimensional domains with smooth boundary. In this thesis we show the existence of such flows in cylindrical domains under the conditions that there is no flow through the side of the cylinder, nonzero flow into the cylinder at all points in the bottom, and nonzero flow out of the cylinder at all points in the top. The flow is constructed by adding a perturbation with nonvanishing vorticity to an already existing flow with no vorticity. To show that this indeed gives us another flow we use a fixed point argument. This can be done if we put certain restrictions on the boundary conditions that define the vorticity of the perturbation.Ekvationerna som beskriver flöden i fluider kallas Navier-Stokes ekvationer och trots att de formulerades på 1800-talet är kunskapen om lösningar fortfarande långt ifrån fullständing. Forskningen som rör detta går ofta framåt genom att specialfall som förenklar ekvationerna undersöks. Så är även fallet i detta arbete. Antagenden som görs är att fluidens hastighet och trycket är konstant i tiden, att fluiden saknar viskositet (rör sig utan friktion) och att den är inkompressibel. Under dessa antaganden tillsammans med antagandet att vorticiteten (ett mått på rotationen i vätskan) är noll är mycket redan utrett. Om man däremot ställer kravet att vorticiteten inte ska vara noll finns desto mindre kunskap. Det har dock visats att i tre dimensioner existerar sådana flöden i områden vars rand är glatt, vilket i princip betyder att det inte finns några hörn eller skarpa kanter. Det som görs i detta arbetet är att visa att sådana flöden även existerar i cylindriska områden under antagandet att det inte sker något flöde genom manteln och att allt flöde in i cylindern sker genom botten och allt flöde ut ur cylindern sker genom toppen