On Special Cases of Dirichlet’s Theorem on Arithmetic Progressions

Dirichlet’s theorem regarding existence of infinitely many primes in progressions on the form a, a + n, a + 2n... when (a,n) = 1 is well known and proved by using Dirichlet series. This thesis will mainly treat the special case when a = 1 without the use of such series. In the first section of the thesis we show existence of an upper bound as a function of n for when the first prime occurs in progressions of this form. The second section contains proofs of the existence of infinitely many primes in progressions when a = 1 and n being 4,6,8 and finally n being an arbitrary integer, using only elementary methods. In the last section we look into some results in algebraic number theory.Ett primtal är ett heltal vars enda delare är 1 och talet själv, så kallade triviala delare. Under slutet av 1500-talet arbetade Pierre de Fermat med att hitta en beskrivning av de primtal som givet ett heltal n kunde skrivas på formen x^2+ny^2. Samtliga inblandade tal var heltal, vilket gjorde att ekvationerna i fråga var diofantiska ekvationer. Ekvationer av detta slag ängades det mycket tid åt att studera i antikens Grekland. Fermat lyckades endast bevisa en av sina utsagor, nämligen; Ett primtal p kan skrivas på formen p=x^2+y^2 om och bara om p=4k+1. I denna utsaga är n=1 och beskrivningen 4k+1. Det ursprunglig problemet kom att sysselsätta många välkända matematiker framöver. En av dem var Adrien-Marie Legendre som försökte bevisa vad vi idag kallar för kvadratiska reprocitetssatsen, vilken lyder; Om ett primtal p kan skrivas som p=4k+1 då finns det lösning till x^2-q=ps där q är ett annat primtal om och bara om x^2-p=qt har en lösning men om p=4k+3 då finns det lösningar till x^2-q=ps om och bara om x^2+p=qt har en lösning. Detta är ett specialfall av generaliseringen av ett av de steg Fermat tog för att bevisa sin utsaga, det så kallade reprocitetssteget. När Legendre försökte bevisa detta stötte han på ett problem. Han behövde visa att det fanns oändligt många primtal i följder på formen ak+n där a och n inte delas av några gemensamma primtal. Han lyckades inte, utan det kom senare att bevisas av Carl Gustav Dirichlet som fick satsen uppkallad efter sig. För att göra det använde han sig av vad vi idag kallar för Dirichlet-serier. Dessa metoder kom att utveckla den del av matematiken som kallas analytisk talteori. I föreliggande uppsats ägnar vi oss åt att bevisa några speciallfall av Dirichlets sats, samt att bevisa att det finns en övre gräns för när det första primtalet i dessa följder uppkommer. Till vår hjälp har vi det slutgiltiga resultatet av kvadratiska reprocitetssatsen, som till slut bevisades av Carl Friedrich Gauss, vars bevis byggde på existens av en annan typ av primtal än de Legendre sökte. Vi kommer även använda oss av en speciell klass av polynom som kallas cyklotomiska polynom. I den sista delen tittar vi på ett fenomen som beskrivs bäst i termer av algebraisk talteori; den del av talteori som tittar på liknande problem som den analytiska, men löser dem med algebraiska metoder