Multiscale statistical inverse problem for the identification of random fields of elastic properties

Dans le cadre de la théorie de l'élasticité linéaire, la modélisation et simulation numérique du comportement mécanique des matériaux hétérogènes à microstructure aléatoire complexe soulèvent de nombreux défis scientifiques à différentes échelles. Bien qu'à l'échelle macroscopique, ces matériaux soient souvent modélisés comme des milieux homogènes et déterministes, ils sont non seulement hétérogènes et aléatoires à l'échelle microscopique, mais ils ne peuvent généralement pas non plus être explicitement décrits par les propriétés morphologiques et mécaniques locales de leurs constituants. Par conséquent, une échelle mésoscopique est introduite entre l'échelle macroscopique et l'échelle mésoscopique, pour laquelle les propriétés mécaniques d'un tel milieu élastique linéaire aléatoire sont décrites par un modèle stochastique prior non-gaussien paramétré par un nombre faible ou modéré d'hyperparamètres inconnus. Afin d'identifier ces hyperparamètres, une méthodologie innovante a été récemment proposée en résolvant un problème statistique inverse multi-échelle en utilisant uniquement des données expérimentales partielles et limitées aux deux échelles macroscopique et mésoscopique. Celui-ci a été formulé comme un problème d'optimisation multi-objectif qui consiste à minimiser une fonction-coût multi-objectif (à valeurs vectorielles) définie par trois indicateurs numériques correspondant à des fonctions-coût mono-objectif (à valeurs scalaires) permettant de quantifier et minimiser des distances entre les données expérimentales multi-échelles mesurées simultanément aux deux échelles macroscopique et mésoscopique sur un seul échantillon soumis à un essai statique, et les solutions des modèles numériques déterministe et stochastique utilisés pour simuler la configuration expérimentale multi-échelle sous incertitudes. Ce travail de recherche vise à contribuer à l'amélioration de la méthodologie d'identification inverse statistique multi-échelle en terme de coût de calcul, de précision et de robustesse en introduisant (i) une fonction-coût mono-objectif (indicateur numérique) supplémentaire à l'échelle mésoscopique quantifiant la distance entre la(les) longueur(s) de corrélation spatiale des champs expérimentaux mesurés et celle(s) des champs numériques calculés, afin que chaque hyperparamètre du modèle stochastique prior ait sa propre fonction-coût mono-objectif dédiée, permettant ainsi d'éviter d'avoir recours à l'algorithme d'optimisation global (algorithme génétique) utilisé précédemment et de le remplacer par un algorithme plus performant en terme d'efficacité numérique, tel qu'un algorithme itératif de type point fixe, pour résoudre le problème d'optimisation multi-objectif avec un coût de calcul plus faible, et (ii) une représentation stochastique ad hoc des hyperparamètres impliqués dans le modèle stochastique prior du champ d'élasticité aléatoire à l'échelle mésoscopique en les modélisant comme des variables aléatoires, pour lesquelles les distributions de probabilité peuvent être construites en utilisant le principe du maximum d'entropie sous un ensemble de contraintes définies par les informations objectives et disponibles, et dont les hyperparamètres peuvent être déterminés à l'aide de la méthode d'estimation du maximum de vraisemblance avec les données disponibles, afin d'améliorer à la fois la robustesse et la précision de la méthode d'identification inverse du modèle stochastique prior. En parallèle, nous proposons également de résoudre le problème d'optimisation multi-objectif en utilisant l’apprentissage automatique par des réseaux de neurones artificiels. Finalement, la méthodologie améliorée est tout d'abord validée sur un matériau virtuel fictif dans le cadre de l'élasticité linéaire en 2D contraintes planes et 3D, puis illustrée sur un matériau biologique hétérogène réel (os cortical de bœuf) en élasticité linéaire 2D contraintes planesWithin the framework of linear elasticity theory, the numerical modeling and simulation of the mechanical behavior of heterogeneous materials with complex random microstructure give rise to many scientific challenges at different scales. Despite that at macroscale such materials are usually modeled as homogeneous and deterministic elastic media, they are not only heterogeneous and random at microscale, but they often also cannot be properly described by the local morphological and mechanical properties of their constituents. Consequently, a mesoscale is introduced between macroscale and microscale, for which the mechanical properties of such a random linear elastic medium are represented by a prior non-Gaussian stochastic model parameterized by a small or moderate number of unknown hyperparameters. In order to identify these hyperparameters, an innovative methodology has been recently proposed by solving a multiscale statistical inverse problem using only partial and limited experimental data at both macroscale and mesoscale. It has been formulated as a multi-objective optimization problem which consists in minimizing a (vector-valued) multi-objective cost function defined by three numerical indicators corresponding to (scalar-valued) single-objective cost functions for quantifying and minimizing distances between multiscale experimental data measured simultaneously at both macroscale and mesoscale on a single specimen subjected to a static test, and the numerical solutions of deterministic and stochastic computational models used for simulating the multiscale experimental test configuration under uncertainties. This research work aims at contributing to the improvement of the multiscale statistical inverse identification method in terms of computational efficiency, accuracy and robustness by introducing (i) an additional mesoscopic numerical indicator allowing the distance between the spatial correlation length(s) of the measured experimental fields and the one(s) of the computed numerical fields to be quantified at mesoscale, so that each hyperparameter of the prior stochastic model has its own dedicated single-objective cost-function, thus allowing the time-consuming global optimization algorithm (genetic algorithm) to be avoided and replaced with a more efficient algorithm, such as the fixed-point iterative algorithm, for solving the underlying multi-objective optimization problem with a lower computational cost, and (ii) an ad hoc stochastic representation of the hyperparameters involved in the prior stochastic model of the random elasticity field at mesoscale by modeling them as random variables, for which the probability distributions can be constructed by using the maximum entropy principle under a set of constraints defined by the available and objective information, and whose hyperparameters can be determined using the maximum likelihood estimation method with the available data, in order to enhance both the robustness and accuracy of the statistical inverse identification method of the prior stochastic model. Meanwhile, we propose as well to solve the multi-objective optimization problem by using machine learning based on artificial neural networks. Finally, the improved methodology is first validated on a fictitious virtual material within the framework of 2D plane stress and 3D linear elasticity theory, and then illustrated on a real heterogenous biological material (beef cortical bone) in 2D plane stress linear elasticit