Large Deviations and Convergence of the Spectrum of Random Matrices

L'un des principaux objets d'étude de la théorie des matrices aléatoires est le spectre de matrices dont les coefficients sont des variables aléatoires et dont la dimension est grande. Dans cette thèse, on s'intéresse à deux questions concernant le spectre de matrices aléatoires : les grandes déviations de la plus grande valeur propre et la convergence de la mesure empirique. En dehors des cas où les coefficients sont à distributions gaussiennes ou à queues lourdes, peu de principes de grandes déviations sont connus en théorie des matrices aléatoires, tant pour la mesure empirique que pour la plus grande valeur propre. Dans la première partie de cette thèse on présente une série de principes de grandes déviations pour la plus grande valeur propre des matrices de Wigner, de Wishart et des matrices à profils de variance ayant des coefficients dont la distribution vérifie une borne sous-gaussienne. Dans la seconde partie de cette thèse, on s'intéresse à la convergence de la mesure empirique pour des polynômes de matrices aléatoires. Dans le cas de polynômes auto-adjoints en des matrices de Wigner indépendantes, les travaux de Voiculescu permettent de voir la limite de la mesure empirique comme la mesure spectrale d'un polynôme en des éléments semi-circulaires libres. Toutefois dans le cas général, il est nécessaire d'avoir un contrôle sur les plus petites valeurs singulières pour conclure. On présente un tel résultat pour le cas particulier d'un polynôme de degré 2 en des matrices de Ginibre ainsi que la preuve de la convergence de la mesure empirique.One of the main objects of random matrix theory is the spectrum of matrices of large dimension and whose entries are random variables. In this thesis, we concern ourselves with two questions : the large deviations of the largest eigenvalue and the convergence of the empirical measure. Apart from the case of coefficients with Gaussian or heavy-tailed distributions., few large deviation principles are proved in random matrix theory, for the empirical measure or the largest eigenvalue. In the first part of this thesis, we prove a series of large deviation principles for the largest eigenvalue of Wigner matrices, Wishart matrices and matrices with variance profiles with coefficients whose distributions satisfy a sub-Gaussian bound.In the second part of this thesis, we examine the question of the convergence of the empirical measure of polynomials of random matrices. In the case of self-adjoint polynomials in independent Wigner matrices, thanks to the results of Voiculescu, we can see the limit measure as the spectral measure of a polynomial in independently free semi-circular elements. But in the general case, it is necessary to control the smallest singular values in order to conclude. We present such a control for polynomials of degree 2 in Ginibre matrices and we prove the convergence of the empirical measure