Analysis and comparison of numerical methods for solving biharmonic equation

U inženjerskoj praksi se često nailazi na probleme koji zahtjevaju rješavanje parcijalnih diferencijanih jednadžbi (PDJ), što je često vrlo složeno ili nemoguće bez približnih rješenja. Jedne od najraširenijih metoda u inženjerskoj i znanstvenoj praksi su metoda konačnih elemenata i metoda konačnih razlika. Za procjenu takvih rješenja je potrebno puno iskustva, i često zahtjevaju dodatne provjere. Da bi se rezultat dobiven tim metodama mogao provjeriti, može se zadati slučaj za koje je poznato analitičko rješenje. Čak i slučaj zadan u ovom radu, savijanje tanke pravokutne ploče, geometrijski vrlo jednostavan, zahtjeva veće iskustvo s matemati čkom analizom. Korištenje komercijalnih računalnih paketa je daleko najpraktičniji način dolaska do rješenja. Ali, iako on može računati proizvoljno komplicirane geometrije, potrebno je poznavati mehanizme računanja PDJ implementiranih u softveru da bi se moglo pouzdano ocijeniti riješenje. Osim toga, licence tih softvera su preskupe da si ih inženjeri mogu pojedinačno priuštiti. Alternativa je u korištenju open-source alata, koji su inženjerima pristupačni i dovoljno pouzdani. Njihovo korištenje je besplatno i zahtjeva samo razumijevanje implementacije. Doprinos ovog rada je rješavanje biharmonijske jednadžbe koja opisuje savijanje ploča, pomoću različitih pristupa i metoda, te pisanje vlastitog algoritma i usporedba konačnih rezultata. Postavljene su jednadžbe iz teorije tankih ploča kojima se dobiva funkcija progiba te je pokazano dobivanje analitičkog rješenja, čiji je rezultat uzet kao referentan za zadani problem. Osim toga je pokazan i postupak dobivanja progiba za ploču pomoću računalnog paketa Abaqus i dodatno uspoređen s tabličnim vrijednostima iz Inženjerskog priručnika. Pristup rješavanjem konačnim razlikama je prikazan uz malo uvodne teorije. Za metodu konačnih elemenata je približena apstraktna matematička teorija te prikazano rješenje dobiveno dvama različitim elementima. Te dvije numeričke metode su uspoređene, na temelju čega je pružen zaključak. Kao dodatak su ostavljeni algoritmi te korištena stručna literatura.Finding solution to partial differential equation (PDE) is common task for an engineer, for whom it is often too complex to find its exact solution. Sometimes one can only find an approximate soution. Some of the most popular numerical methods for finding such solutions are the method of finite differences (MFD) and the method of finite elements (FEM). In order to estimate and compare methods, one can take any case for which analytic formula is known. Even the case described in this thesis, which is pretty simple,a thin rectangular plate, requires advanced mathematical skills. The simplest way would be to use commercial engineering software. That kind of software is perfect for complex geometries, but requires knowledge in PDE methods that are implemented in solvers. Moreover, an average engineer can hardly afford official licenses for them. Alternative lies in usage of open-source tools, which are free and can be easily used with enough time spent tackling user-non-friendly environment. Contribution of this thesis is solving biharmonic equation, governing thin plate bending, using various methods and approaches, including writing own algorithm and comparing the results. In order to provide analytic solution for thin plate bending governing equation, plate theory has been analyzed. Calculated result has been taken as reference in the entire thesis. Moreover, Abaqus workflow for obtaining solution has also been provided. The result was additionally compared to the table data from Engineer’s handbook. The method of finite differences, besides given results, is described with a chunk of theory. The method of finite elements is introduced through some abstract mathematical theory at first and then empowered with results. Both those numeric methods have been compared and commented. As an addition, solver algorithms were transcribed, along with used academic literature