Une étude sur les hiérarchies de ligne de partage des eaux et ses applications dans la segmentation d'image

The wide literature on graph theory invites numerous problems to be modeled in the framework of graphs. In particular, clustering and segmentation algorithms designed this framework can be applied to solve problems in various domains, including image processing, which is the main field of application investigated in this thesis. In this work, we focus on a semi-supervised segmentation tool widely studied in mathematical morphology and used in image analysis applications, namely the watershed transform. We explore the notion of a hierarchical watershed, which is a multiscale extension of the notion of watershed allowing to describe an image or, more generally, a dataset with partitions at several detail levels. The main contributions of this study are the following : - Recognition of hierarchical watersheds : we propose a characterization of hierarchical watersheds which leads to an efficient algorithm to determine if a hierarchy is a hierarchical watershed of a given edge-weighted graph. - Watersheding operator : we introduce the watersheding operator, which, given an edge-weighted graph, maps any hierarchy of partitions into a hierarchical watershed of this edge-weighted graph. We show that this operator is idempotent and its fixed points are the hierarchical watersheds. We also propose an efficient algorithm to compute the result of this operator. - Probability of hierarchical watersheds : we propose and study a notion of probability of hierarchical watersheds, and we design an algorithm to compute the probability of a hierarchical watershed. Furthermore, we present algorithms to compute the hierarchical watersheds of maximal and minimal probabilities of a given weighted graph. - Combination of hierarchies : we investigate a family of operators to combine hierarchies of partitions and study the properties of these operators when applied to hierarchical watersheds. In particular, we prove that, under certain conditions, the family of hierarchical watersheds is closed for the combination operator. - Evaluation of hierarchies : we propose an evaluation framework of hierarchies, which is further used to assess hierarchical watersheds and combinations of hierarchies. In conclusion, this thesis reviews existing and introduces new properties and algorithms related to hierarchical watersheds, showing the theoretical richness of this framework and providing insightful view for its applications in image analysis and computer vision and, more generally, for data processing and machine learningLa littérature abondante sur la théorie des graphes invite de nombreux problèmes à être modélisés dans ce cadre. En particulier, les algorithmes de regroupement et de segmentation conçus dans ce cadre peuvent être utilisés pour résoudre des problèmes dans de nombreux domaines tels que l'analyse d'image qui est le principal domaine d'application de cette thèse. Dans ce travail, nous nous concentrons sur un outil de segmentation semi-supervisé largement étudié dans la morphologie mathématique et appliqué à l'analyse d'image, notamment les Ligne de Partage des Eaux (LPE). Nous étudions la notion de hiérarchie de LPE, qui est une extension multi-échelle de la notion de LPE permettant de décrire une image ou, plus généralement, un ensemble de donnés par des partitions à plusieurs niveaux de détail. Les contributions principales de cette étude sont les suivantes : - Reconnaissance de hiérarchies de LPE : nous proposons une caractérisation des hiérarchies de LPE qui mène à un algorithme efficace pour déterminer si une hiérarchie est une hiérarchie de LPE d'un graphe donné. - Opérateur watersheding : nous présentons l'opérateur watersheding, qui, étant donné un graphe pondéré, associe n'importe quelle hiérarchie à une hiérarchie de LPE de ce graphe. Nous montrons que cet opérateur est idempotent et que ses points fixes sont les hiérarchies de LPE. Nous proposons également un algorithme efficace pour calculer le résultat de cet opérateur. - Probabilité de hiérarchies de LPE : nous proposons et étudions une notion de probabilité d'une hiérarchie de LPE, et nous concevons un algorithme pour calculer la probabilité d'une hiérarchie de LPE. De plus, nous présentons des algorithmes pour calculer des hiérarchies de LPE de probabilité minimale et maximale pour un graphe pondéré donné. - Combinaison de hiérarchies : nous étudions une famille d'opérateurs pour combiner des hiérarchies de partitions et nous étudions les propriétés de ces opérateurs lorsqu'ils sont appliqués à des hiérarchies de LPE. En particulier, nous prouvons que, dans certaines conditions, la famille des hiérarchies de LPE est fermée pour l'opérateur de combinaison. - Évaluation de hiérarchies : nous proposons un cadre d'évaluation de hiérarchies, qui est également utilisé pour évaluer les hiérarchies de LPE et les combinaisons des hiérarchies. En conclusion, cette thèse révise des propriétés existantes et des nouvelles propriétés liées aux hiérarchies de LPE, montrant la richesse théorique de ce cadre et fournissant une vue d'ensemble des ses applications dans l'analyse d'image et dans la vision par ordinateur et, plus généralement, dans le traitement de donnés et dans l'apprentissage automatiqu