Dynamique des systèmes quantiques ouverts : un niveau quantique discret fortement couplé à un continuum avec une structure de bandes

Following the technological advances of the Industrial Revolution, classical thermodynamics was developed in the 19th century in order to understand the conversion of heat into work in newly designed machines. The works of Boltzmann brought another conceptual revolution with statistical mechanics. He demonstrated the microscopical origin of the laws of thermodynamics which actually only describe the macroscopic behaviour of systems in which local thermalization is faster than all other timescales. However, following the growing interest for nanotechnologies, it is now possible to manipulate microscopic systems in which thermalization is slower than the timescales for electron flow. A major technological advance in this field stems from the use of quantum dots, nanoscale devices which confine electrons on such small scales that they spread on discrete energy levels. It is then essential to take into account quantum effects for the study of this type of systems, that is to say to design theoretical tools combining thermodynamics and quantum mechanics.Problems of quantum thermodynamics are often tackled in the framework of the theory of open quantum systems. The general idea of this formalism is to study the dynamics of a “small” quantum system when it is coupled to another much bigger representing the environment. One can then show that the time evolution of the small system can be described by a master equation in the limit where it is weakly coupled to the environment. However, it intuitively seems that the power output of machine would be higher in the context of strong coupling.For problems of electronic transport, the Landauer-Büttiker formalism allows to describe the strong-coupling regime. In this framework, electrons are assumed to solely undergo elastic scattering processes in the central system. All the thermoelectric properties of the machine can then be characterized thanks to the transmission properties of the scatterer. However, this formalism has an important limitation; it ignores the band structure of the reservoirs.Here we have chosen to adopt a different viewpoint to tackle the strong-coupling regime by studying an exactly soluble model. We therefore analyze the Fano-Anderson model describing a discrete level coupled to a continuum. We are particularly interested by the influence of the reservoirs’ band structure. One can indeed show that, under certain conditions, discrete bound states appear in the band gaps of the reservoirs. This state play an important rôle on the dynamics of the discrete at long times: their contribution depends on the initial preparation of the system and gives rise to persistent oscillations of the occupation of the discrete level.We start by deriving the exact solution of the model especially focusing on its long-time behaviour. We then analyze two special cases. First, we study the transport properties of a single-level quantum dot coupled to a semiconductor with single a band gap. A bound state appears in this gap when the coupling to the reservoir exceeds a critical value. We show that this greatly affects the transport properties of the device. We then study the case of reservoirs described by a tight-binding model which density of states consists of a single finite-range energy band. We show that a discrete level coupled to such reservoir behaves like a many-level system as its local density of states and transmission function exhibits multiple resonances.Suivant les progrès technologiques de la révolution industrielle, la thermodynamique classique a été développée au XIXème siècle dans le but de comprendre la conversion de la chaleur en travail intervenant dans les machines thermiques nouvellement élaborées. Les travaux de Boltzmann apportèrent une autre révolution conceptuelle avec la physique statistique. Il démontra l’origine microscopique des lois de la thermodynamique, celles-ci ne décrivant en fait que le comportement macroscopique de systèmes pour lesquels la thermalisation locale est plus rapide que toutes les autres échelles de temps. Cependant, conséquemment à l’intérêt grandissant pour les nanotechnologies, il est aujourd’hui possible de manipuler des systèmes microscopiques pour lesquels la thermalisation est plus lente que les échelles de temps associés aux flux d’électrons. Une avancée technologique majeure dans ce domaine provient de l’utilisation de boîtes quantiques, des dispositifs nanométriques permettant de confiner les électrons sur des distances si petites qu’ils se répartissent sur des niveaux d’énergie discrets. Il est alors évidemment indispensable de prendre en compte les effets quantiques pour l’étude de ce type de systèmes, c’est-à-dire de concevoir des outils théoriques alliant thermodynamique et mécanique quantique.Les problèmes de thermodynamique quantique sont souvent abordés dans le cadre de la théorie des systèmes quantiques ouverts. L’idée générale de ce formalisme est d’étudier la dynamique d’un « petit » système quantique lorsqu’il est couplé à un autre système supposé bien plus « gros » et représentant l’environnement. On démontre alors que l’évolution temporelle du petit système peut être décrite par une équation maîtresse dans la limite où il est faiblement couplé à l’environnement. Cependant, il semble intuitivement qu’une machine pourra délivrer une puissance plus importante dans un contexte de fort couplage-Pour les problèmes de transport électronique, le formalisme de Landauer-Büttiker permet de décrire le régime de fort couplage. Dans ce cadre, les électrons sont supposés ne subir que des processus de diffusion élastique dans le système central. Toutes les propriétés thermoélectriques de la machine peuvent alors être caractérisées grâce aux propriétés de transmission du diffuseur. Cependant, ce formalisme souffre aussi d’une importante limitation, la structure de bandes des réservoirs étant ignorée.Ici nous avons choisi d’adopter un point de vue différent pour aborder le régime de fort couplage en étudiant un modèle exactement résoluble. Nous analysons donc le modèle de Fano-Anderson décrivant un niveau discret couplé à un continuum. Nous nous intéressons particulièrement à l’influence de la densité d’états des réservoirs. On démontre en effet que, sous certaines conditions, des états liés discrets apparaissent dans les bandes interdites des réservoirs. Ces états jouent un rôle prépondérant sur la dynamique du niveau discret à temps longs : leur contribution dépend de la préparation initiale du système et peut donner lieu à des oscillations permanentes de l’occupation du niveau discret.Nous commençons par expliciter la solution exacte du modèle en nous concentrant particulièrement son comportement à temps longs. Nous analysons ensuite deux cas particuliers. En premier lieu, nous nous intéressons aux propriétés de transport d’une boîte quantique à un niveau couplée à un semi-conducteur présentant une unique bande interdite. Un état lié apparaît dans cette bande lorsque le couplage au réservoir dépasse une valeur critique ce qui affecte fortement les propriétés de transport du système. Nous étudions ensuite le cas de réservoirs décrit par un modèle de liaisons fortes dont la densité d’états ne comporte qu’une bande finie d’énergie. Nous montrons qu’un niveau discret couplé à un tel réservoir se comporte comme un système à plusieurs niveaux, sa densité d’états locale et sa transmission présentant de multiples résonances