Kähler-Poisson Algebras

In this thesis, we introduce Kähler-Poisson algebras and study their basic properties. The motivation comes from differential geometry, where one can show that the Riemannian geometry of an almost Kähler manifold can be formulated in terms of the Poisson algebra of smooth functions on the manifold. It turns out that one can identify an algebraic condition in the Poisson algebra (together with a metric) implying that most geometric objects can be given a purely algebraic formulation. This leads to the definition of a Kähler-Poisson algebra, which consists of a Poisson algebra and a metric fulfilling an algebraic condition. We show that every Kähler- Poisson algebra admits a unique Levi-Civita connection on its module of inner derivations and, furthermore, that the corresponding curvature operator has all the classical symmetries. Moreover, we present a construction procedure which allows one to associate a Kähler-Poisson algebra to a large class of Poisson algebras. From a more algebraic perspective, we introduce basic notions, such as morphisms and subalgebras, as well as direct sums and tensor products. Finally, we initiate a study of the moduli space of Kähler-Poisson algebras; i.e for a given Poisson algebra, one considers classes of metrics giving rise to non-isomorphic Kähler-Poisson algebras. As it turns out, even the simple case of a Poisson algebra generated by two variables gives rise to a nontrivial classification problem.I denna avhandling introduceras Kähler-Poisson algebror och deras grundläggande egenskaper studeras. Motivationen till detta kommer från differentialgeometri där man kan visa att den metriska geometrin för en Kählermångfald kan formuleras i termer av Poisson algebran av släta funktioner på mångfalden. Det visar sig att man kan identifiera ett algebraiskt villkor i en Poissonalgebra (med en metrik) som gör det möjligt att formulera de flesta geometriska objekt på ett algebraiskt vis. Detta leder till definitionen av en Kähler-Poisson algebra, vilken utgörs av en Poissonalgebra och en metrik som tillsammans uppfyller ett kompatibilitetsvillkor. Vi visar att för varje Kähler-Poisson algebra så existerar det en Levi-Civita förbindelse på modulen som utgörs av de inre derivationerna, och att den tillhörande krökningsoperatorn har alla de klassiska symmetrierna. Vidare presenteras en konstruktion som associerar en Kähler-Poisson algebra till varje algebra i en stor klass av Poissonalgebror. Ur ett mer algebraiskt perspektiv så introduceras flera grundläggande begrepp, såsom morfier, delalgebror, direkta summor och tensorprodukter. Slutligen påbörjas en studie av modulirum för Kähler-Poisson algebror, det vill säga ekvivalensklasser av metriker som ger upphov till isomorfa Kähler-Poisson strukturer. Det visar sig att även i det enkla fallet med en Poisson algebra genererad av två variabler, så leder detta till ett icke-trivialt klassificeringsproblem.