Asymptotique diffusive de l’équation de Boltzmann pour les mélanges gazeux, étude mathématique et numérique

This thesis is devoted to several studies which aim at investigating the link between the Boltzmann equation for gaseous mixtures and the Maxwell-Stefan equations, modelling purely diffusive phenomena inside a gas. Our analysis is built on a linearization of the solution of the kinetic equation around a local Maxwellian state characterized by different bulk velocities for each species of the mixture, but having the same order of mag- nitude of the scaling parameter which prescribes the diffusion asymptotics. In a first part, we start by showing that the Boltzmann operator linearized around such a Maxwellian, which does not constitute an equilibrium for the gas, exhibits a quasi-stability property on its spectral gap : the spectral gap known to exist for the collision operator linearized a global equilibrium state is preserved up to a correction which is of the same order of the scaling parameter. Thanks to this feature and via the derivation of suitable hypocoercivity estimates, we are then able to prove that the Maxwell-Stefan system can be rigorously obtained from the Boltzmann multi-species equation, by showing that the solutions of the kinetic and macroscopic models exist uniquely in a perturbative sense. In a second part of the manuscript, using the moment method, we design a numerical scheme which captures the correct behaviour of the solutions at different scales of the diffusion asymptotics. We prove that our scheme possesses at least one solution with positive concentrations, and we show numerically that it is asymptotic-preserving in the vanishing limit of the scaling parameter.Cette thèse est consacrée à plusieurs études reliant l’équation de Boltzmann pour les mélanges gazeux aux équations de Maxwell-Stefan décrivant la diffusion gazeuse. Notre analyse est construite sur une linéarisation de la solution de l’équation cinétique autour d’un état maxwellien local ayant des vitesses différentes pour chaque espèce du mélange, mais de l’ordre du paramètre d’échelle qui prescrit l’asymptotique diffusive. Dans une première partie, nous montrons que l’opérateur de Boltzmann linéarisé autour d’une telle maxwellienne, ne constituant pourtant pas un état d’équilibre pour le gaz, satisfait une propriété de quasi-stabilité de son trou spectral : le trou spectral obtenu en linéarisant l’opérateur de collision autour d’un état d’équilibre global est préservé à une correction du même ordre que le paramètre d’échelle. Ainsi, nous sommes ensuite en mesure de prouver que le système de Maxwell-Stefan peut être dérivé rigoureusement à partir de l’équation de Boltzmann multi-espèce. Cette dérivation est obtenue en montrant existence et unicité des solutions perturbatives des modèles cinétique et macroscopique, grâce en particulier à des estimations d’hypocoercivité. Dans une deuxième partie du manuscrit, par le biais de la méthode des moments, nous construisons un schéma numérique capable de décrire le comportement des solutions aux différentes échelles de l’asymptotique diffusive. Pour ce schéma, nous prouvons un résultat d’existence et de positivité des solutions, et un caractère préservant l’asymptotique est montré à travers plusieurs tests numériques