The Extended modular group

Ayrık gruplar, otomorf fonksiyonlar teorisinin en önemli yapı taşlarından birisidir. Bir çok nedenle de, ayrık gruplar içinde en fazla çalışılanı ise modüler gruptur. Bu çalışmanın amacı ise, henüz daha fazla çalışılmamış olan, genişletilmiş modüler grup ve altgruplannm bazı özelliklerini vermektir. Ayrık grupların grup yapılarının yanında bölüm uzayları oluşturularak elde edilen Riemann yüzeyleri de ayn bir araştırma konusu oluşturur. Çalışmamızda genişletilmiş modüler grubun bu yönü ele alınmamıştır. Ancak yapılan bazı çalışmalar sonucunda, bu yöndeki çalışmalarda oldukça ilginç özellikler ile karşılaşılacağı görülmüştür. Çalışma üç bölümden oluşmaktadır. Giriş kısmında ayrık gruplar teorisinin kısa bir tarihsel gelişimi verilmiştir. Birinci bölüm çalışmanın hazırlık kısmım oluşturmaktadır ve çalışma boyunca gereksinim duyulacak kavramlar ve bazı temel teoremler verilmiştir. Bir çok kitapta farklı tanımlarına rastlanan ayrık grup tanımlarının denk oldukları gösterilmiştir. Ayrıca Fuchsian gruplar için geçerli olan sabit nokta kümeleriyle ilgili bir teoremin N.E.C. gruplar içinde geçerli olduğu gösterilmiştir. ikinci bölümde modüler grup ile altgruplan ele alınmış ve bazı temel özellikleri verilmiştir. Bu bölümde modüler grubun sağ transversali ile ilgili bir teorem ifade ve ispat edilmiştir. Ayrıca To(n) özel denklik altgruplanmn modüler gruptaki normalleştiricismin tanımından yararlanılarak bir teorem ifade ve ispat edilmiştir. Üçüncü bölüm çalışmanın asıl kısmıdır. Bu bölümde önce modüler grubun, sanal eksendeki Rı(z) = -z yansıması ile nasıl genişletildiği, genişletilmiş modüler grubun doğuray-lan, gösterimi, temel bölgesi elde edilmiş ve genişletilmiş altgruplanmn tanımlan verilmiştir. Son olarak da genişletilmiş temel ve özel denklik ahgruplannın grup yapılan hakkında bilgiler verilmiştir.Discrete groups are one of the fundamentals of the theory of automorphic functions. For many reasons, the most worked discrete group is the modular group. The aim of this work is to give some properties of the extended modular group which is not worked intensively yet and its subgroups. Apart from the group structures of discrete groups, the Riemann surfaces obtained by forming quotient spaces form another reserch topic. In this work we have not considered those for the extended modular group. But some preliminary work show that further work will give us many interesting results. The work consists of three chapters. At the introduction a brief history of the theory of discrete groups is given. The first chapter is the preliminary chapter containing ali notions and theorems needed later during the work. The equivalence of several definitions of discrete groups given in the literatüre is shown. Furthermore a theorem conceming the fixed point sets of Fuchsian groups is shown to be true for N.E.C. groups as well. In the second chapter modular group and its subgroups are considered and some fundamental properties are given. A theorem about the right transversal of the modular group is stated and proved. Finally by means of the definition of the normaliser of the special congruence subgroups T0(n), a theorem is stated and proved. The third chapter is the main part of the work. In this chapter firstly, the extension of the modular group by the reflection Rı(z) = -z in the imaginary axis, the generators of the extended modular group, representation of it and its fundamental region are obtained. Finally, information about the group structures of the extended principal and special congruence subgroups is given