Sobre la función Zeta de Riemann

En este trabajo se presenta la construcción de la función zeta de Riemman, propiedades y otros resultados; a partir de herramientas de la variable compleja y el análisis. Hay que resaltar que esta no es la única manera de abordar este tema, ya que existen otras formas mucho más cortas, pero que involucran resultados y conocimientos más especializado. En la primera parte del documento se presentan algunos resultados preliminares de variable compleja y análisis que serán usados en la parte principal del trabajo, de igual manera se anexa en el apéndice un breve estudio sobre la función Gamma, que será importante en la extensión de la función zeta. A pesar de esto, se da por hecho que el lector tiene conocimiento y dominio de estos temas. El trabajo comienza con la definición de la función zeta como suma de Dirichlet y algunas de sus propiedades más importantes, por ejemplo, su definición como producto de términos que dependen de los números primos. Además de esto se trabajarán algunas de sus extensiones analíticas, principalmente a una función meromorfa en el plano complejo, que permitirá finalmente formular la ecuación funcional de la función ζ y a partir de aquí, estudiar breve mente el comportamiento de sus ceros triviales; pero más importante, la región donde se concentran los ceros no-triviales, que es donde se desenvuelve la hipótesis de Riemann.In this paper we present the construction of the Riemman zeta function, properties and other results; using tools of the complex variable and analysis. It should be noted that this is not the only way to address this issue, since there are other forms that are much shorter, but that involve more specialized knowledge and results. In the first part of the document, some preliminary results of a complex variable and complex analysis are presented, which will be used in the main part of the work. A brief study on the Gamma function is also attached in the appendix, which will be important in the extension of the zeta function. Despite this, it is assumed that the reader has knowledge and command of these issues. The work begins with the definition of the zeta function as a sum of Dirichlet and some of its most important properties, for example, its definition as a product of terms that depend on prime numbers. In addition to this, some of its analytical extensions will be worked on, mainly to a meromorphic function in the complex plane, which will allow finally formulating the functional equation of the function ζ and from here, briefly study the behavior of its trivial zeros; but more importantly, the region where non-trivial zeros are concentrated, which is where the Riemann hypothesis unfolds.PregradoMatemátic