Random walks on random trees

Cette thèse a pour objet d’étude divers modèles de marches aléatoires sur les arbres aléatoires.Nous nous sommes consacrés principalement aux aspects qui relevaient à la fois de la théorie des probabilités et de la théorie ergodique. Notre premier modèle est celui des marches aléatoires sur les arbres à longueurs récursives(qui généralise un modèle apparaissant dans un travail récent de Curien et Le Gall). Nous montrons pour ce modèle sous des conditions très générales qu’un phénomène appelé « chute de dimension » se produit pour la mesure harmonique et donnons une formule assez explicite permettant de calculer cette dimension.En utilisant les outils développés pour ce dernier modèle, nous nous intéressons à la marche aléatoire lambda-biaisée sur un arbre de Galton-Watson infini, pour lequel de nombreuses conjectures sont toujours ouvertes. Notre approche nous permet de calculer la dimension de la mesure harmonique en fonction de la loi de la conductance de l’arbre. C’est un résultat nouveau qui nous permet de vérifier numériquement certaines de ces conjectures ouvertes.Le reste de la thèse porte sur un modèle très riche appelé marche aléatoire sur un arbre pondéré aléatoire. D’abord dans le cas transient, où nous montrons par une approche différente de celle des parties précédentes que le phénomène de chute de dimension se produit. Puis sur un cas récurrent appelé sous-diffusif, où nous nous intéressons à la vitesse de convergence vers 0 de la conductance entre la racine et le niveau n de l’arbre lorsque n tend vers l’infini. Nous montrons que la loi limite de cette conductance renormalisée par son espérance est la limite de la martingale de Mandelbrot.The subject of this thesis is the study of various models of random walks on random trees, with an emphasis on the aspects that fall at the intersection of probability theory and ergodic theory. We called our first model “random walks on Galton-Watson trees with recursive lengths”.It generalizes a model appearing in a recent work by Curien and Le Gall. We show that under fairly general assumptions, a phenomenon called “dimension drop” holds for this model and we give a formula for this dimension. Using the tools developed for the study of the previous model, we turn to the case oft ransient lambda-biased random walks on infinite Galton-Watson trees, for which many famous problems are still open. Our approach allows us to compute the dimension of the harmonic measure as a function of the law of the conductance of the tree. With this new result, we check numerically the validity of some twenty-year-old conjectures.The remainder of this thesis is about a very rich model called random walk on a random weighted Galton-Watson tree. First, we study the transient case, where we show with a different method than in the previous parts, that the dimension drop phenomen on occurs. Then we turn to a recurrent case called subdiffusive and we investigate the rate of decay of the conductance between the root and the n-th level of the tree, as n goes to infinity. We prove that this conductance, suitably renormalized converges to the limit of the Mandelbrot martingale