Densité, VC-dimension et étiquetages de graphes

its vertices. Such a scheme consists in an encoding function that constructs a(short) binary label for every vertex, and in a decoding function that can answer(quickly) a predefined query using only the local information contained in twolabels (with no further knowledge of the graph). Constructing such distributedrepresentations constituted the initial motivation of most of the results of thisdocument. However, this manuscript concerns problem of more general interestsuch as bounding the density of graphs, studying the VC-dimension of setfamilies, or investigating on metric and structural properties of graphs.As a first contribution, we upper bound the density of the subgraphs of Cartesianproducts of graphs, and of the subgraphs of halved-cubes. To do so, weextend the classical notion of VC-dimension (already used in 1994 by Haussler,Littlestone, and Warmuth to upper bound the density of the subgraphs of hypercubes).From our results, we deduce upper bounds on the size of labels used byan adjacency labeling scheme on these graph classes.We then investigate on distance and routing labeling schemes for two importantfamilies of metric graph theory: median graphs and bridged graphs. We firstshow that the class of cube-free median graphs on n vertices enjoys distance androuting labeling schemes both using labels of O(log^3 n) bits. These labels can bedecoded in constant time to respectively return the exact distance between twovertices, or a port to take from a source vertex in order to get (strictly) closer toa target one. We then describe an approximate distance labeling scheme for thefamily of K_4-free bridged graphs on n vertices. This scheme also uses labels ofsize O(log^3 n) that can be decoded in constant time to return a value of at mostfour time the exact distance between two vertices.Un schéma d’étiquetage est un procédé permettant de distribuer la représentationd’un graphe sur ses sommets. Il consiste en une fonction d’encodage quiattribue des étiquettes binaires (courtes) à chaque sommet, et d’une fonction dedécodage qui, étant données les informations locales contenues dans deux étiquettes,et sans connaissance supplémentaire sur le graphe, permet de répondre(rapidement) à un type de requête pré-établi. Une partie des résultats de cettethèse sont initialement motivés par la construction de telles représentations distribuées.Ce document traite cependant de problèmes d’intérêt plus généraux telsque l’étude de bornes sur la densité de graphes, de la VC-dimension de famillesd’ensembles, ou de propriétés métriques et structurelles.Nous établissons dans un premier temps des bornes supérieures sur la densitédes sous-graphes de produits cartésien de graphes, puis des sous-graphesde demi-cubes. Pour ce faire, nous définissons des extensions du paramètre classiquede VC-dimension (utilisé par Haussler, Littlestone et Warmuth en 1994pour majorer la densité des sous-graphes d’hypercube). De ces bornes sur ladensité, nous déduisons des bornes supérieures sur la longueur des étiquettesattribuées par un schéma d’adjacence à ces deux familles de graphes.Dans un second temps, nous nous intéressons à des schémas de distance etde routage pour deux familles importantes de la théorie métrique des graphes :les graphes médians et les graphes pontés. Nous montrons que la famille des graphesmédians, sans cube, avec n sommets, admet des schémas de distance et deroutage utilisant tous deux des étiquettes de O(log^3 n). Ces étiquettes sont décodéesen temps constant pour retourner, respectivement, la distance exacte entredeux sommets, ou le port vers un sommet rapprochant (strictement) une sourced’une destination. Nous décrivons ensuite un schéma de distance 4-approchépour la famille des graphes pontés, sans K_4, avec n sommets, utilisant des étiquettesde O(log^3 n) bits. Ces dernières peuvent être décodées en temps constantpour obtenir une valeur entre la distance exacte et quatre fois celle-ci