Méthodes asymptotiques pour la valorisation d’options en finance

In this thesis, we study several mathematical finance problems, related to the pricing of derivatives. Using different asymptotic approaches, we develop methods to calculate accurate approximations of the prices of certain types of options in cases where no explicit formulas are available.In the first chapter, we are interested in the pricing of path-dependent options, with Monte-Carlo methods, when the underlying is modelled as an affine stochastic volatility model. We prove a long-time trajectorial large deviations principle. We then combine it with Varadhan’s Lemma to calculate an asymptotically optimal measure change, that allows to reduce significantly the variance of the Monte-Carlo estimator of option prices.The second chapter considers the pricing with Monte-Carlo methods of options that depend on several underlying assets, such as basket options, in the Wishart stochastic volatility model, that generalizes the Heston model. Following the approach of the first chapter, we prove that the process verifies a long-time large deviations principle, that we use to reduce significantly the variance of the Monte-Carlo estimator of option prices, through an asymptotically optimal measure change. In parallel, we use the large deviations property to characterize the long-time behaviour of the Black-Scholes implied volatility of basket options.In the third chapter, we study the pricing of options on realized variance, when the spot volatility is modelled as a diffusion process with constant volatility. We use recent asymptotic results on densities of hypo-elliptic diffusions to calculate an expansion of the density of realized variance, that we integrate to obtain an expansion of option prices and their Black-Scholes implied volatility.The last chapter is dedicated to the pricing of interest rate derivatives in the Levy Libor market model, that generaliszes the classical (log-normal) Libor market model by introducing jumps. Writing the first model as a perturbation of the second and using the Feynman-Kac representation, we calculate explicit expansions of the prices of interest rate derivatives and, in particular, caplets and swaptionsDans cette thèse, nous étudions plusieurs problèmes de mathématiques financières liés à la valorisation des produits dérivés. Par différentes approches asymptotiques, nous développons des méthodes pour calculer des approximations précises du prix de certains types d’options dans des cas où il n’existe pas de formule explicite.Dans le premier chapitre, nous nous intéressons à la valorisation des options dont le payoff dépend de la trajectoire du sous-jacent par méthodes de Monte-Carlo, lorsque le sous-jacent est modélisé par un processus affine à volatilité stochastique. Nous prouvons un principe de grandes déviations trajectoriel en temps long, que nous utilisons pour calculer, en utilisant le lemme de Varadhan, un changement de mesure asymptotiquement optimal, permettant de réduire significativement la variance de l’estimateur de Monte-Carlo des prix d’options.Le second chapitre considère la valorisation par méthodes de Monte-Carlo des options dépendant de plusieurs sous-jacents, telles que les options sur panier, dans le modèle à volatilité stochastique de Wishart, qui généralise le modèle Heston. En suivant la même approche que dans le précédent chapitre, nous prouvons que le processus vérifie un principe de grandes déviations en temps long, que nous utilisons pour réduire significativement la variance de l’estimateur de Monte-Carlo des prix d’options, à travers un changement de mesure asymptotiquement optimal. En parallèle, nous utilisons le principe de grandes déviations pour caractériser le comportement en temps long de la volatilité implicite Black-Scholes des options sur panier.Dans le troisième chapitre, nous étudions la valorisation des options sur variance réalisée, lorsque la volatilité spot est modélisée par un processus de diffusion à volatilité constante. Nous utilisons de récents résultats asymptotiques sur les densités des diffusions hypo-elliptiques pour calculer une expansion de la densité de la variance réalisée, que nous intégrons pour obtenir l’expansion du prix des options, puis de leur volatilité implicite Black-Scholes.Le dernier chapitre est consacré à la valorisation des dérivés de taux d’intérêt dans le modèle Lévy de marché Libor qui généralise le modèle de marché Libor classique (log-normal) par l’ajout de sauts. En écrivant le premier comme une perturbation du second et en utilisant la représentation de Feynman-Kac, nous calculons explicitement l’expansion asymptotique du prix des dérivés de taux, en particulier, des caplets et des swaptions