The history of the emergence of non-Euclidean geometry: the awakening to new worlds and the Beltrami models

The present work presents a brief historical presentation of the development of the non-Euclidian models proposed by Eugenio Beltrami. From the precise systematization of Euclid, we present certain inquiries and misgivings about the local validity and global validity of the postulate of the parallels, including some misguided attempts at its demonstration over more than 2000 years, such as the work of Saccheri, and Gauss’s worries expressed in letters, to the contributions of János Bolyai. Finally, we highlight the role of Beltrami with the publication of his articles Saggio e Teoria, presenting metrics referring to spaces of constant and negative curvature. Some concepts of differential geometry are discussed, especially the models of the hyperboloid, Beltrami-Klein disc model, Riemann-Beltrami-Poincaré disk (conformal) and Liouville-Beltrami (conformal) semiplane model.Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES)O presente trabalho traz uma breve apresentação histórica do desenvolvimento dos modelos das geometrias não euclidianas propostos por Eugenio Beltrami. A partir da sistematização precisa de Euclides, apresentamos certas indagações e desconfianças em relação a validade pontual e global do postulado das paralelas, incluindo algumas tentativas equivocadas de sua demonstração ao longo de mais de 2000 anos, como o trabalho de Saccheri, as inquietações de Gauss expressas em cartas, até as contribuições de János Bolyai. Finalmente, destacamos o papel de Beltrami com a publicação de seus artigos Saggio e Teoria, apresentando as métricas referentes aos espaços de curvatura constante e negativa. São discutidos alguns conceitos introdutórios da geometria diferencial e, em especial, os modelos do hiperboloide, modelo do disco de Beltrami-Klein, modelo do disco (conformal) de Riemann-Beltrami-Poincaré e modelo do semiplano (conformal) de Liouville-Beltrami