Structures de dépendance complexes pour modèles à composantes supervisées

High redundancy of explanatory variables results in identification troubles and a severe lack of stability of regression model estimates. Even when estimation is possible, a consequence is the near-impossibility to interpret the results. It is then necessary to combine its likelihood with an extra-criterion regularising the estimates. In the wake of PLS regression, the regularising strategy considered in this thesis is based on extracting supervised components. Such orthogonal components must not only capture the structural information of the explanatory variables, but also predict as well as possible the response variables, which can be of various types (continuous or discrete, quantitative, ordinal or nominal). Regression on supervised components was developed for multivariate GLMs, but so far concerned models with independent observations.However, in many situations, the observations are grouped. We propose an extension of the method to multivariate GLMMs, in which within-group correlations are modelled with random effects. At each step of Schall's algorithm for GLMM estimation, we regularise the model by extracting components that maximise a trade-off between goodness-of-fit and structural relevance. Compared to penalty-based regularisation methods such as ridge or LASSO, we show on simulated data that our method not only reveals the important explanatory dimensions for all responses, but often gives a better prediction too. The method is also assessed on real data.We finally develop regularisation methods in the specific context of panel data (involving repeated measures on several individuals at the same time-points). Two random effects are introduced: the first one models the dependence of measures related to the same individual, while the second one models a time-specific effect (thus having a certain inertia) shared by all the individuals. For Gaussian responses, we first propose an EM algorithm to maximise the likelihood penalised by the L2-norm of the regression coefficients. Then, we propose an alternative which rather gives a bonus to the "strongest" directions in the explanatory subspace. An extension of these approaches is also proposed for non-Gaussian data, and comparative tests are carried out on Poisson data.Une forte redondance des variables explicatives cause de gros problèmes d'identifiabilité et d'instabilité des coefficients dans les modèles de régression. Même lorsque l'estimation est possible, l'interprétation des résultats est donc extrêmement délicate. Il est alors indispensable de combiner à leur vraisemblance un critère supplémentaire qui régularise l'estimateur. Dans le sillage de la régression PLS, la stratégie de régularisation que nous considérons dans cette thèse est fondée sur l'extraction de composantes supervisées. Contraintes à l'orthogonalité entre elles, ces composantes doivent non seulement capturer l'information structurelle des variables explicatives, mais aussi prédire autant que possible les variables réponses, qui peuvent être de types divers (continues ou discrètes, quantitatives, ordinales ou nominales). La régression sur composantes supervisées a été développée pour les GLMs multivariés, mais n'a jusqu'alors concerné que des modèles à observations indépendantes.Or dans de nombreuses situations, les observations sont groupées. Nous proposons une extension de la méthode aux GLMMs multivariés, pour lesquels les corrélations intra-groupes sont modélisées au moyen d'effets aléatoires. À chaque étape de l'algorithme de Schall permettant l'estimation du GLMM, nous procédons à la régularisation du modèle par l'extraction de composantes maximisant un compromis entre qualité d'ajustement et pertinence structurelle. Comparé à la régularisation par pénalisation de type ridge ou LASSO, nous montrons sur données simulées que notre méthode non seulement permet de révéler les dimensions explicatives les plus importantes pour l'ensemble des réponses, mais fournit souvent une meilleure prédiction. La méthode est aussi évaluée sur données réelles.Nous développons enfin des méthodes de régularisation dans le contexte spécifique des données de panel (impliquant des mesures répétées sur différents individus aux mêmes dates). Deux effets aléatoires sont introduits : le premier modélise la dépendance des mesures relatives à un même individu, tandis que le second modélise un effet propre au temps (possédant donc une certaine inertie) partagé par tous les individus. Pour des réponses Gaussiennes, nous proposons d'abord un algorithme EM pour maximiser la vraisemblance du modèle pénalisée par la norme L2 des coefficients de régression. Puis nous proposons une alternative consistant à donner une prime aux directions les plus "fortes" de l'ensemble des prédicteurs. Une extension de ces approches est également proposée pour des données non-Gaussiennes, et des tests comparatifs sont effectués sur données Poissonniennes