Source directive de vagues dans un cristal de cylindres émergeant en surface

International audienceThe feasibility of using the band structure of a crystal to realize directional emission of water waves is investigated numerically and experimentally. The directionality of a source inside a square array of cylinders is obtained numerically for a perfect lattice in a lossless liquid. But in the experiments, the directivity is weakened, due to the effects of losses. Nevertheless, the waves are shown to satisfy the Helmholtz equation when proper attenuation is accounted for. Thus, the robustness of the directionality is studied numerically with respect to the effects of the attenuation and of the disorder. © 2015 Académie des sciences. Published by Elsevier Masson SAS. All rights reserved. r é s u m é On étudie la faisabilité d'une source directive pour les ondes à la surface de l'eau, basée sur les propriétés de la structure de bandes d'un cristal. Cette directivité est caractérisée numériquement pour un réseau périodique de cylindres rigides dans un fluide parfait. Dans l'expérience, la directivité est affaiblie, à cause de l'atténuation. Cependant, en prenant en compte cette atténuation, la propagation des ondes est toujours correctement décrite par l'équation de Helmholtz. Aussi, la robustesse de la directivité est-elle étudiée numériquement plus en détail, vis-à-vis des effets d'atténuation et de désordre. Dans cette étude, la directivité d'une source d'émission placée dans un réseau périodique est étudiée, numériquement et expérimentalement, dans le contexte des ondes de gravité se propageant à la surface de l'eau. Si ces ondes satisfont, dans (M. Chekroun), agnes.maurel@espci.fr (A. Maurel), vincent.pagneux@univ-lemans.fr (V. Pagneux), phil@pmmh.espci.fr (P. Petitjeans). des cas limites, une équation d'onde identique à celle vérifiée par les ondes acoustiques et par les ondes électromagnétiques en deux dimensions (l'équation de Helmholtz, Eq. (1)), elles présentent une complexité souvent négligée. Dispersives, non linéaires dans des conditions usuelles, susceptibles d'être affectées par des modes évanescents dans le volume du fluide dès que la bathymétrie du fond sous-marin varie brutalement, d'être affectées par le comportement de ménisques pour des obstacles émergeant hors de l'eau, les phénomènes attendus par simple inspection de l'équation de Helmholtz doivent être regardés avec vigilance au regard d'expériences qui diront si, oui ou non, ces phénomènes sont robustes. Dans ce papier, nous donnons des éléments de réponse à cette question dans le cas de l'hyper directivité prédite par Mei et al. [13] dans le contexte des ondes à la surface de l'eau. Pour ce faire, nous caractérisons, numériquement et expérimentalement, les ondes émergeant d'un réseau périodique (un cristal de taille finie) pour une fréquence en bord de bande, c'est-à-dire pour laquelle la structure de bandes prédit que seul un étroit faisceau d'onde peut s'échapper d'une structure périodique lorsqu'une source est placée en son centre. Cette directivité de la source est testée expérimentalement pour un réseau de cylindres émergeant (Fig. 1). Dans la section 2, nous montrons que, pour une fréquence au bord de la bande interdite, et pour une position disymmé-trique de la source dans le réseau, une très bonne directivité peut être obtenue (position B sur la Fig. 1) ; cette directivité est illustrée par le diagramme d'émission (Fig. 2(c)) ainsi que par le comportement d'indicateurs : (i) la section totale de diffusion, Eq. (5), qui mesure l'énergie totale sortant du réseau et (ii) une mesure de la directivité D, Eq. (6), qui mesure la proportion de l'énergie contenue dans les faisceaux directifs autour des directions ϕ = 0, π (le long de l'axe x). La Fig. 3 montre que ces deux indicateurs présentent un optimum pour la fréquence en bord de bande f = f 0 = 5.69 Hz et pour une source en position B, réalisant ainsi une source directive. Dans la Section 3, cette prédiction est testée expérimentalement. Nous utilisons une technique de profilométrie par transformée de Fourier (FTP) qui permet une mesure résolue en temps et en espace du champ des « vagues », c'est-à-dire de l'élévation de la surface libre du fluide (Fig. 4), ainsi que la reconstruction du champ complexe η 1 (x, y) correspondant à la fréquence d'excitation de la source, Eqs. (7)-(8). Les expériences sont conduites pour une position de la source en A, non directive (Section 3.2), et pour une position de la source en B, pour laquelle la directivité est attendue à la fréquence f 0 (Section 3.3). Nous observons que la directivité est affaiblie-Fig. 7(a) (champ expérimental) à comparer à (c) (champ théorique). Ceci est dû à une atténuation très forte dans le système réel, qui est déterminée en ajustant ce paramètre dans la simulation numérique. Dans tous les cas, un excellent accord expé-rience/théorie est alors trouvé, qualitativement sur les champs spatiaux, Figs. 5 et 7 (a)-(b) et (d)-(e), et quantitativement sur les diagrammes d'émission, Figs. 6 et 8. L'origine de cette forte atténuation est probablement liée au comportement dynamique des ménisques sur les cylindres, qui n'est pas pris en compte dans la modélisation. Cette étude expérimen-tale révèle que l'hyperdirectivité attendue est sensible à des écarts au cas idéal d'un milieu parfaitement périodique et sans pertes. Cependant, parce que l'équation modèle de Helmholtz n'est pas mise en défaut, nous terminons notre étude à la Section 4 par une étude numérique plus systématique de la directivité de la source en fonction de l'atténuation et du désordre dans le milieu, effets qui peuvent exister dans tous les contextes d'ondes. Il est montré que l'atténuation et le désordre ont le même effet, fort à la résonance, d'affaiblissement des interférences constructives qui produisent la directivité. Pour conclure, il est cependant probable que l'affaiblissement de la directionalité observée dans une expérience de laboratoire soit moins important à l'échelle des vagues en mer, puisque l'atténuation est moins forte à cette échelle