L'hypothèse du continu : contexte et conséquences

En mettant à profit le lien étroit entre la théorie des nombres ordinaux et la cardinalité des ensembles bien ordonnables, on présente l’arithmétique des N puis, en exploitant l’astuce de Scott, on expose la théorie des nombres cardinaux en toute généralité. Enfin, on énonce l’hypothèse du continu. Une fois cette mise en contexte effectuée, on se tourne vers les résultats exclusifs aux théories des ensembles ZF et ZFC, toutes deux enrichies de l’hypothèse du continu. On démontre d’abord que l’hypothèse du continu permet d’établir un principe de dualité entres les notions de mesure et de catégorie au sens de Baire. Puis, on observe comment des ensembles aux propriétés topologiques particulières - obtenus en supposant l’hypothèse du continu - apportent un éclairage différent sur des thèmes à saveur analytique comme le théorème d’Egoroff, le théorème de Fréchet de suite double et le problème de la mesure généralisée