Integro-differential models for evolutionary dynamics of populations in time-heterogeneous environments

Cette thèse porte sur l'étude qualitative de plusieurs équations paraboliques de type Lotka-Volterra issues de la biologie évolutive et de l'écologie, équations qui prennent en compte un taux de croissance périodique en temps et un phénomène de compétition non locale. Dans une première partie nous étudions d'abord la dynamique des populations phénotypiquement structurées sous l'effet des mutations et de la sélection dans des environnements qui varient périodiquement en temps, puis nous étudions l'impact d'un changement climatique sur ces populations, en considérant que les conditions environnementales varient selon une tendance linéaire, mais de manière oscillatoire. Dans les deux problèmes nous commençons par étudier le comportement en temps long des solutions. Ensuite nous utilisons une approche basée sur les équations de Hamilton-Jacobi pour l'étude asymptotique de ces solutions en temps long lorsque l'effet des mutations est petit. Nous prouvons que lorsque l'effet des mutations disparaît, la densité phénotypique de la population se concentre sur un seul trait (qui varie linéairement avec le temps dans le deuxième modèle), tandis que la taille de la population oscille périodiquement. Pour le modèle de changement climatique nous fournissons également un développement asymptotique de la taille moyenne de la population et de la vitesse critique menant à l'extinction de la population, ce qui est lié à la dérivation d'un développement asymptotique de la valeur propre de Floquet en fonction du taux de diffusion. Dans la deuxième partie, nous étudions quelques exemples particuliers de taux de croissance en donnant des solutions explicites et semi-explicites au problème, et nous présentons quelques illustrations numériques pour le modèle périodique. De plus, étant motivés par une expérience biologique, nous comparons deux populations évoluant dans des environnements différents (constants ou périodiques). En outre, nous présentons une comparaison numérique entre les modèles stochastiques et déterministes pour le phénomène de transfert horizontal des gènes. Dans un contexte Hamilton-Jacobi, nous parvenons à reproduire numériquement le sauvetage évolutif d'une petite population que nous observons dans le modèle stochastique.This thesis focuses on the qualitative study of several parabolic equations of the Lotka-Volterra type from evolutionary biology and ecology taking into account a time-periodic growth rate and a non-local competition term. In the initial part we first study the dynamics of phenotypically structured populations under the effect of mutations and selection in environments that vary periodically in time and then the impact of a climate change on such population considering environmental conditions which vary according to a linear trend, but in an oscillatory manner. In both problems we first study the long-time behaviour of the solutions. Then we use an approach based on Hamilton-Jacobi equations to study these long-time solutions asymptotically when the effect of mutations is small. We prove that when the effect of mutations vanishes, the phenotypic density of the population is concentrated on a single trait (which varies linearly over time in the second model), while the population size oscillates periodically. For the climate change model we also provide an asymptotic expansion of the mean population size and of the critical speed leading to the extinction of the population, which is closely related to the derivation of an asymptotic expansion of the Floquet eigenvalue in terms of the diffusion rate. In the second part we study some particular examples of growth rates by providing explicit and semi-explicit solutions to the problem and present some numerical illustrations for the periodic model. In addition, being motivated by a biological experiment, we compare two populations evolved in different environments (constant or periodic). In addition, we present a numerical comparison between stochastic and deterministic models modelling the horizontal gene transfer phenomenon. In a Hamilton-Jacobi context, we are able to numerically reproduce the evolutionary rescue of a small population that we observe in the stochastic model