On the Toral Rank Conjecture and Variants of Equivariant Formality

We investigate the topological consequences of actions of compact connected Lie groups. Our focus lies on the \emph{Toral Rank Conjecture}, which states that a suitable space $X$ with an almost free $T^r$-action has to satisfy $\dim H^*(X;\mathbb{Q})\geq 2^r$. We investigate various refinements of formality in an equivariant setting and show that they imply the TRC in several cases. Furthermore, we study the properties of the newly developed terminology with regards to possible implications, inheritance under elementary topological constructions, and characterizations in terms of higher operations on the equivariant cohomology. We also attack the problem of finding bounds for $\dim H^*(X;\mathbb{Q})$ in the spirit of the TRC outside of the formal context. Different lower bounds are constructed and applied in particular to the case of cohomologically symplectic spaces.Wir untersuchen topologische Konsequenzen von Wirkungen kompakter und zusammen\-h\"angender Liegruppen. Im Vordergrund steht dabei die \emph{Toral Rank Conjecture} (TRC), welche besagt, dass für einen geeigneten Raum $X$ mit einer fast freien $T^r$-Wirkung stets $\dim_\mathbb{Q}H^*(X;\mathbb{Q})\geq 2^r$ gilt. Dazu studieren wir unterschiedliche Begriffe von Formalität im äquivarianten Kontext. Wir zeigen, dass diese in einigen F\"allen die TRC implizieren und beleuchten die neu entwickelten Konzepte unter verschiedenen Gesichtspunkten: Neben grundlegenden Eigenschaften und möglichen Implikationen, untersuchen wir\linebreak Vererbarkeitseigenschaften unter elementaren topologischen Konstruktionen, sowie mög\-liche Charakterisierungen anhand h\"oherer Operationen auf der \"aquivarianten Kohomologie. Darüber hinaus widmen wir uns dem Problem der Absch\"atzung von $\dim_\mathbb{Q}H^*(X;\mathbb{Q})$ im Sinne der TRC in einem allgemeineren Kontext. Wir konstruieren verschiedene untere Schranken f\"ur die Summe der Bettizahlen von $X$, welche keine zus\"atzlichen Formalit\"atsannahmen ben\"otigen. Diese werden insbesondere auf kohomologisch symplektische R\"aume angewendet