Dualities for rational multi-particle Painlevé systems:Spectral versus Ruijsenaars

The extension of the Painlevé-Calogero coorespondence for n-particle Inozemtsev systems raises to the multi-particle generalisations of the Painlevé equations which may be obtained by the procedure of Hamiltonian reduction applied to the matrix or non-commutative Painlevé systems, which also gives isomonodromic formulation for these non-autonomous Hamiltonian systems. We provide here dual systems for the rational multi-particle Painlevé systems (P I, P II and P IV) by reduction from another intersection a coadjoint orbit of GL(n) action with the level set of moment map. We describe this duality in terms of the spectral curve of non-reduced system in comparison to the Ruijsenaars duality.L'extension de la correspondance de Painlevé-Calogero pour les systèmes Inozemtsev à n particules augmente vers les généralisations des équations Painlevé avec du potentiel multi-particules qui peuvent être obtenues par la procédure de réduction hamiltonienne appliquée aux systèmes Painlevé non commutatifs (dit matriciels), qui donne également formulation isomonodromique pour ces systèmes hamiltoniens non autonomes. Nous fournissons ici des systèmes doubles pour les systèmes rationnels multi-particules Painlevé (P I, P II et P IV) en réduisant à partir d'une autre intersection d'une orbite coadjointe de l'action GL (n) avec l'ensemble de niveaux de l'application moment. Nous décrivons cette dualité en termes de courbe spectrale du système non réduit par rapport à la dualité de Ruijsenaars