Exploring Dirac Equation: a tour through Topological Insulators and Majorana Fermions

In this monography, we sought to understand the physical and mathematical reasoning that led Paul Dirac to build his famous equation, and why it has attracted the attention of the condensed matter physicists in the last decades. We then make a historically based discussion about the process of building the Dirac equation and describe some of it's main properties. With all that well established, we base ourselves in an already rich literature, to argue in favor of using the Dirac equation to build effective models to describe Topological Insulators. We start with a very general discussion which is finished with the investigation of Bismuth Selenide (Bi2Se3). We also present a brief discussion about how Majorana Fermions can be predicted by an investigation of real solutions to the Dirac equation, and how those fermions have been used to describe topological superconductors.CNPq - Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e TecnológicoTrabalho de Conclusão de Curso (Graduação)Nesta monografia buscou-se compreender os argumentos físicos e matemáticos que levaram à construção da equação de Dirac e entender o que a tem tornado fonte de interesse crescente dos físicos da matéria condensada. Para tanto, fez-se uma discussão contextualizada historicamente do procedimento adotado por Paul Dirac para derivar a sua equação, e com esta em mãos, foram discutidas algumas propriedades importantes. Após isto, baseado em uma literatura já bastante rica, argumentou-se sobre como ela pode ser utilizada na elaboração de descrições efetivas de Isolantes Topológicos, utilizando inicialmente uma argumentação geral e encerrando com o caso do Seleneto de Bismuto (Bi2Se3). Por fim, foi discutido como a previsão teórica dos Férmions de Majorana surge da investigação de soluções particulares da equação de Dirac, e como essas partículas têm sido utilizadas no estudo dos chamados Supercondutores Topológicos