p-adic Gibbs measures on Cayley trees and related p-adic dynamical systems

Cette thèse est consacrée à l'étude du modèle de Potts p-adique à q états sur les arbres de Cayley. Plus précisément, nous étudions les mesures de Gibbs p-adiques du modèle de Potts sur les arbres de Cayley d’ordres 3 et 4 et leurs systèmes dynamiques p-adiques associés.Dans la première partie, nous décrivons les mesures de Gibbs p-adiques invariantes par translations pour le modèle de Potts sur l’arbre de Cayley d'ordre 4. L’existence de mesures de Gibbs p-adiques invariantes par translations est équivalente à l’existence de points fixes d’une fonction rationnelle appelée fonction de Potts--Bethe. Cette fonction de Potts--Bethe est obtenue à partir de l'équation récurrente d'une fonction à valeur dans Q_p^q rencontrée lors de la construction des mesures de Gibbs p-adiques du modèle de Potts sur les arbres de Cayley. Afin de décrire ces mesures de Gibbs p-adiques invariantes par translations, nous trouvons les solutions d'une équation quartique dans certains domaines E_p de Q_p. En général, nous trouvons aussi des conditions de solvabilité pour les équations quartiques dépressées sur Q_p.Dans la deuxième partie, nous étudions la dynamique des fonctions de Potts--Bethe dans le cas d’arbres de Cayley d'ordres 3 et 4. Premièrement, nous décrivons la fonction de Potts--Bethe ayant une bonne réduction. Pour une fonction de Potts--Bethe ayant une bonne réduction, la droite projective P^1(Q_p) peut être décomposée en composants minimaux et leur bassins attractifs. Cependant, les fonctions de Potts--Bethe associées au modèle de Potts sur les arbres de Cayley d'ordres 3 et 4 ont une mauvaise réduction : pour de nombreux nombres premiers p, ces fonctions correspondantes sont en effet chaotiques. En fait, pour ces nombres premiers p, nous prouvons que, restreintes à leurs ensembles de Julia, les fonctions de Potts--Bethe sont topologiquement conjuguées à une dynamique de décalage. Pour des autres nombres premiers p, l'ensemble de Julia correspondant peut être vide. La propriété chaotique de la fonction de Potts-Bethe implique l'immensité de l'ensemble des mesures de Gibbs p-adiques et une transition de phase. Comme application, nous obtenons que pour de nombreux nombres premiers p, les modèles de Potts p-adiques sur les arbres de Cayley d'ordres 3 et 4 ont une transition de phase. Nous remarquons également que l'affirmation que la transition de phase implique le chaos n'est pas vraie.This thesis is devoted to the study of the q-state p-adic Potts model on Cayley trees. Specifically, we investigate the p-adic Gibbs measures of the Potts model on the Cayley trees of orders 3 and 4 and their related p-adic dynamical systems.In the first part, we describe the existence of the translation-invariant p-adic Gibbs measures of the Potts model on the Cayley tree of order 4. The existence of translation-invariant p-adic Gibbs measures is equivalent to the existence of fixed points of a rational map called Potts–Bethe mapping. The Potts–Bethe mapping is derived from the recurrent equation of a Q_p^q-valued function in the construction of the p-adic Gibbs measures of the Potts model on Cayley trees. In order to describe the existence of these translation-invariant p-adic Gibbs measures, we find the solutions of some quartic equation in some domains E_p of Q_p. In general, we also provide some solvability conditions for the depressed quartic equation on Q_p.In the second part, we study the dynamics of the Potts–Bethe mapping of degrees 3 and 4. First, we describe the Potts–Bethe mapping having good reduction. For a Potts– Bethe mapping with good reduction, the projective line P^1(Qp) can be decomposed into minimal components and their attracting basins. However, the Potts–Bethe mapping associated to the Potts model on the Cayley trees of orders 3 and 4 have bad reduction. For many prime numbers p, such Potts–Bethe mappings are chaotic. In fact, for these primes p, we prove that restricted to their Julia sets, the Potts–Bethe mappings are topologically conjugate to the full shift dynamics. For other primes p, the corresponding Julia set might be empty. The chaotic property of the Potts-Bethe mapping implies the vastness of the set of the p-adic Gibbs measures, and hence implies the phase transition. As application, for many prime numbers p, the Potts models over Q_p on the Cayley trees of orders 3 and 4 have phase transition. We also remark the statement that phase transition implies chaos is not true