Une géométrie du calcul : Réseaux de preuve, Appel-Par-Pousse-Valeur et Topologie du consensus

This Phd thesis presents a quantitative study of various computation modelsof fundamental computer science and proof theory, in two principad directions :the first consists in the examination of mecanismis of multilinear approximationsin systems related toλ-calculus and Linear Logic. The second consists in a studyof topological models for asynchronous distributed systems, and probabilisticalgorithms. We first study Taylor expansion in Linear Logic proof nets. Weintroduce proof methods using the geometry of cut elimination in multiplicativenets, and which allow to work with infinite sums of nets in a safe and correct way,in order to extract properties about reduction. Then, we introduce a languageallowing us to define Taylor expansion for Call-By-Push-Value, while capturingsome properties of the denotational semantics, related to coalgebras morphisms.We focus then on fault tolerant-distributed systems with shared memory, andto Consensus problem. We use a topological model which allows to interpretcommunication with simplicial complexes, and we adapt in so as to transformthe well-known impossibility results in lower bounds for probabilistic algorithms.Cette thèse propose une étude quantitative de plusieurs modèles de calcul de l’informatique fondamentale et de la théorie de la démonstration. Deux approches sont menées : la première consiste à examiner les mécanismes d’approximation multilinéaires dans des systèmes issus du λ-calcul et de la Logique Linéaire. La seconde consiste à étudier les modèles topologiques pour les systèmes distribués et à les adapter aux algorithmes probabilistes. On étudie d’abord le développement de Taylor des réseaux de preuve de la Logique Linéaire. On introduit des méthodes de démonstration qui utilisent la géométrie de l’élimination des coupures des réseaux multiplicatifs, et qui permettent de manipuler des sommes infinies de réseaux de façon sûre et correcte, pour en extraire des propriétés sur les réductions qui sont à l’œuvre. Ensuite, nous introduisons un langage permettant de définir le développement de Taylor syntaxique pour l’Appel-Par-Pousse-Valeur (Call-By-Push-Value), en capturant certaines propriétés de la sémantique dénotationelle liées aux morphismes de coalgèbres. Puis nous nous intéressons aux systèmes distribués (à mémoire partagée, tolérants aux pannes), et au problème du Consensus. On utilise un modèle topologique qui permet d’interpréter la communication dans les complexes simpliciaux, et on l’adapte de façon à transformer les résultats d’impossibilité bien connus en résultats de borne inférieure de probabilité pour des algorithmes probabilistes