On the existence of Levi Foliations

Let L be a real 3 dimensional analytic variety. For each regular point p L there exists a unique complex line l p on the space tangent to L at p. When the field of complex line p l p is completely integrable, we say that L is Levi variety. More generally; let L M be a real subvariety in an holomorphic complex variety M. If there exists a real 2 dimensional integrable distribution on L which is invariant by the holomorphic structure J induced by M, we say that L is a Levi variety. We shall prove: Theorem. Let be a Levi foliation and let be the induced holomorphic foliation. Then, admits a Liouvillian first integral. In other words, if is a 3 dimensional analytic foliation such that the induced complex distribution defines an holomorphic foliation ; that is, if is a Levi foliation; then admits a Liouvillian first integral--a function which can be constructed by the composition of rational functions, exponentiation, integration, and algebraic functions (Singer 1992). For example, if f is an holomorphic function and if theta is real a 1-form on ; then the pull-back of theta by f defines a Levi foliation : f*theta = 0 which is tangent to the holomorphic foliation : df = 0. This problem was proposed by D. Cerveau in a meeting (see Fernandez 1997).Seja L Ì uma variedade real de dimensão 3. Para todo ponto regular p Î L existe uma única reta complexa l p no espaço tangente à L em p. Quando o campo de linhas complexas p l p é completamente integrável, dizemos que L é uma variedade de Levi. Mais geralmente, seja L Ì M uma subvariedade real em uma variedade analítica complexa. Se existe uma distribuição real integrável de dimensão 2 em L que é invariante pela estrutura holomorfa J induzida pela variedade complexa M, dizemos que L é uma variedade de Levi. Vamos provar: Teorema. Seja uma folheação de Levi e seja a folheação holomorfa induzida. Então tem integral primeira Liouvilliana. Em outras palavras, se é uma folheação real de dimensão 3 tal que a folheação holomorfa induzida define uma folheação holomorfa ; isto é, se é uma folheação de Levi; então admite uma integral primeira Liouvilliana - uma função que pode ser construida por composição de funções rationais, exponenciações, integrações e funções racionais (Singer 1992). Por exemplo, se f é uma função holomorfa e se teta é uma 1-forma real em ²; então o pull-back de teta por f define uma folheação de Levi: : f*teta = 0 a qual é tangente a folheação holomorfa : df = 0. Este problema foi proposto por D. Cerveau em uma reunião (Fernandez 1997)