Diffusions infini-dimensionnelles et champs de Gibbs sur l'espace<br /> des trajectoires continues

Présidente : N. El Karoui, École Polytechnique Directrice de Thèse : S. R\oe lly, CNRS (École Polytechnique)/Institut Weierstraß (Berlin) Rapporteurs : & R. Lang, Université de Francfort N. Privault, Université de La Rochelle A. Wakolbinger, Johann Wolfgang Goethe-Universität Examinateur : P. Cattiaux, Université Paris X-Nanterre/École PolytechniqueThe Gibbsian nature of infinite-dimensional gradient diffusions is here analyzed. They modelize interacting Brownian particles systems . Representing the solutions of such systems by point processes on pathspace, we prove the equivalence between to be the law of a gradient diffusion and to be a Gibbs field on continuous pathspace for a particular dynamical local Hamiltonian. More generally, we prove that every regular Gibbs field on pathspace may be represented by an infinite-dimensional diffusion for which we compute the drift. We give many applications o these results ; for example, a time reversal formula for the gradient diffusions is proved and so, we study reversibility and stationarity for such diffusions.Nous analysons la structure gibbsienne de la loi de diffusions infini-dimensionnelles de type gradient, modélisant des systèmes continus de particules browniennes en interaction. En représentant les solutions de tels systèmes par des mesures ponctuelles sur l'espace des trajectoires, nous démontrons l'équivalence entre être la loi d'une solution d'un système de type gradient et être un champ de Gibbs sur l'espace des trajectoires continues associé à un hamiltonien local dynamique spécifique. Plus généralement, nous montrons que tout champ de Gibbs, suffisamment régulier, se représente comme une diffusion infini-dimensionnelle dont nous calculons la dérive. Nous donnons également diverses applications de ces résultats ; nous exhibons notamment une formule de retournement du temps pour les systèmes de type gradient et en étudions ainsi la réversibilité et la stationnarité