Estimation récursive de fonctionnelles

The aim of this thesis is the study of the asymptotic behaviour of the kernel estimator of a probability density function and its derivatives, of a regression function, as well as of the location and of the size of the mode of a probability density. The goal is to establish several properties of the recursive or semi-recursive kernel estimators in order to compare their asymptotic behaviour with that of the classical estimators. In the first chapter, we establish a large deviations principle (LDP) and a moderate deviations principle (MDP) for the recursive estimator of a probability density and for its derivatives. It turns out that, in the deviations principles for the derivatives estimators, the rate function is always quadratic, the deviations being either large or moderate. On the other hand, for the density estimator, the rate function which appears is of different nature according to whether the deviations are large or moderate. The rate functions which appear in the LDP for the derivatives and in the MDP for the density and its derivatives are larger in the case the recursive estimator is used. In the second chapter, we establish LDP and MDP for kernel estimators of the regression. We generalize the results already obtained in the unidimensional case for the Nadaraya-Watson estimator. We then study the behaviour in deviations of the semi-recursive version of this estimator by establishing a LDP and MDP. The rate function which appears in the MDP are larger for the semi-recursive estimator than for the classical estimator. In the third chapter, we are interested in the joint estimation of the location and of the size of the mode of a probability density based on the recursive kernel density estimator. We study the weak and almost sure convergence rates of the couple formed by these two estimators. To estimate the two parameters simultaneously in an optimal way, it is necessary to use different bandwidths to define each of the two estimators. The semi-recursive estimators lead to asymptotic variances smaller than the classical estimators.L'objet de cette thèse est l'étude du comportement asymptotique d'estimateurs à noyau d'une densité de probabilité et de ses dérivées, d'une fonction de régression, ainsi que du mode et de la valeur modale d'une densité de probabilité. Le but est d'établir certaines propriétés des estimateurs à noyau récursifs ou semi-récursifs afin de comparer leur comportement asymptotique à celui des estimateurs classiques. Dans le premier chapitre, nous établissons des principes de grandes déviations (PGD) et des principes de déviations modérées (PDM) pour l'estimateur récursif d'une densité de probabilité et pour ses dérivées. Il s'avére que, dans les principes de déviations vérifiés par les estimateurs des dérivées, la fonction de taux est toujours une fonction quadratique, que les déviations soient grandes ou modérées. Contrairement, pour l'estimateur de la densité, les fonctions de taux qui apparaissent sont de nature différente selon que les déviations sont grandes ou modéerées. Les fonctions de taux qui apparaissent tant dans les PGD pour les dérivées que dans les PDM pour la densité et pour les dérivées sont plus grandes dans le cas où l'estimateur récursif est utilisé. Dans le deuxième chapitre, nous établissons des PGD et des PDM pour des estimateurs à noyau d'une fonction de régression. Nous généralisons les résultats déjà obtenus dans le cas unidimensionnel pour l'estimateur de Nadaraya-Watson. Nous étudions ensuite le comportement en déviations de la version semi-récursive de cet estimateur en établissant des PGD et des PDM. Les fonctions de taux qui apparaissent dans les PDM sont plus grandes pour l'estimateur semi-récursif que pour l'estimateur classique. Dans le troisième chapitre, nous nous intéressons à l'estimation jointe du mode et de la valeur modale d'une densité de probabilité basée sur l'estimateur à noyau récursif de la densité. Nous étudions la vitesse de convergence en loi et presque sûre du couple formé par ces deux estimateurs. Pour estimer simultanément les deux paramètres de façon optimale, il faut utiliser des fenêtres différentes pour définir chacun des deux estimateurs. Les estimateurs semi-récursifs conduisent à des variances asymptotiques plus petites que les estimateurs classiques