Dynamique et collision de solitons pour quelques équations dispersives nonlinéaires

This work deals with long time dynamics of soliton solutions for generalizations of well-known dispersive equations. The first part of this work is devoted to the study of existence, uniqueness and global behavior of soliton-like solutions for slowly varying, but still large perturbations of generalized KdV equations. We give an accurate description of the dynamics for all time and prove in addition the nonexistence of pure soliton-like solutions, a big difference with the standard gKdV equations. Next, the same kind of results are proven in the case of nonlinear Schrödinger equations. We improve all the existing results by constructing a unique global soliton solution in this regime, and studying in detail its behavior. In addition, under some mild assumptions we extend this result to the two-dimensional case and under general incident velocities. Finally, we consider the scenario of a 2-soliton collision between a small and a very small soliton, for generalized KdV equations. We prove a classification result which completes the Martel-Merle results –concerning the quartic case– asserting that in a very general framework the unique possibilities for having an elastic collision are given by the integrable cases. The proof of all these results are reminiscent of the very recent Martel-Merle theory of 2-soliton's collision for gKdV equations under different asymptotic regimes.Dans cette thèse, nous étudions quelques propriétés dynamiques des solutions de type soliton de quelques équations dispersives nonlinéaires généralisées. La première partie de ce travail est consacrée à l'étude de l'existence, de l'unicité et du comportement global de solitons pour des équations de KdV généralisées, à variation lente. On donnera une description détaillée de la dynamique pour tout temps et on montrera la non-existence de solitons purs, ce qui est une très grande différence avec l'équation gKdV standard. Dans une deuxième partie, on étudiera le cas de l'équation de Schrödinger nonlinéaire. Pour cette équation, nous allons améliorer tous les résultats précédents en donnant une description précise pour tout temps de la dynamique du soliton dans le régime à variation lente. En plus, sous des hypothèses générales, on montrera ce résultat dans le cas 2-D. Finalement, on considère le problème de collision de deux solitons pour l'équation de KdV généralisée. Complétant les résultats récents de Martel et Merle, concernant le cas quartique, nous montrons que la seule possibilité d'avoir une collision de type élastique est donnée par les cas intégrables. La preuve de tous ces résultats sont des développements et des améliorations de la théorie de Martel et Merle pour la collision de deux solitons des équations gKdV sous différents régimes asymptotiques