Artin groups and Hecke algebras over finite fields

Nous déterminons dans cette thèse l'image des groupes de Artin associés à des groupes de Coxeter irréductibles dans leur algèbre de Iwahori-Hecke finie associée. Cela a été fait en type A dans des articles de Brunat, Marin et Magaard. Dans le cas générique, la clôture de l'image de Zariski a été déterminée dans tous les cas par Marin. L'approximation forte suggère que les résultats devraient être similaire dans le cas fini. Il est néanmoins impossible d'utiliser l'approximation forte sans utiliser de lourdes hypothèses et limiter l'étendue des résultats. Nous démontrons dans cette thèse que les résultats sont similaires mais que de nouveaux phénomènes interviennent de par la complexification des extensions de corps considérées. Les arguments principaux proviennent de la théorie des groupes finis. Nous utiliserons notamment un Théorème de Guralnick et Saxl qui utilise la classification des groupes finis simples pour les représentations de hautes dimensions. Ce théorème donne des conditions pour que des sous-groupes de groupes linéaires soient des groupes classiques dans une représentation naturelle. En petite dimension, nous utiliserons la classification des sous-groupes maximaux des groupes classiques de Bray, Holt et Roney-Dougal pour les cas les plus compliquésIn this doctoral thesis, we will determine the image of Artin groups associated to all finite irreducible Coxeter groups inside their associated finite Iwahori-Hecke algebra. This was done in type A in articles by Brunat, Marin and Magaard. The Zariski closure of the image was determined in the generic case by Marin. It is suggested by strong approximation that the results should be similar in the finite case. However, the conditions required to use are much too strong and would only provide a portion of the results. We show in this thesis that they are but that new phenomena arise from the different field factorizations. The techniques used in the finite case are very different from the ones in the generic case. The main arguments come from finite group theory. In high dimension, we will use a theorem by Guralnick-Saxl which uses the classification of finite simple groups to give a condition for subgroups of linear groups to be classical groups in a natural representation. In low dimension, we will mainly use the classification of maximal subgroups of classical groups obtained by Bray, Holt and Roney-Dougal for the complicated case