Modeling of the fine structure of quantum and classical turbulence

Cette thèse est constituée de deux parties, dont l'axe commun est la modélisation de phénomènes de petites échelles pour des écoulements turbulents.Dans une première partie on s'intéresse à l'influence des rotons sur la dynamique d'un modèle d'hélium superfluide. On commence par une calibration d'un modèle non-local d'interaction dans le but de reproduire la relation de dispersion expérimentale de l'hélium, mesurée par diffraction de neutrons. On utilise ensuite ce modèle calibré pour réaliser des simulations numériques directes (DNS) de l'équation de Gross-Pitaevskii, afin de sonder le phénomène de reconnexion des tourbillons quantiques. Ce phénomène est étudié en détail via une analyse géométrique et énergétique des résultats des DNS. On compare alors systématiquement ces résultats à ceux du modèle local afin d'étudier l'influence des rotons sur l'écoulement aux échelles de l'ordre de l'Angstrom.Dans un second temps on cherche à décrire la structure spatio-temporelle de la turbulence homogène et isotrope. Pour cela on commence par une analyse des propriétés statistiques du champ eulérien de vitesse, basée sur l'évaluation de ses incréments spatio-temporels. On utilise les données issues d'une DNS des équations de Navier-Stokes mises à disposition par l'Université Johns Hopkins. On propose ensuite un champ aléatoire spatio-temporel pour la vitesse eulérienne, en caractérisant d'abord la structure de ses corrélations par une approximation gaussienne. On modifie ensuite cette approximation par une mesure multi-fractale afin de reproduire les aspects non-gaussiens observés dans la DNS, tels que les hauts niveaux des coefficients d'asymétrie et d'aplatissement.This thesis consists of two parts that share a common theme : the modeling of small-scale phenomena in turbulent flows.In a first part we focus on the influence of rotons on the dynamics of a model of superfluid helium. We begin by a calibration of a nonlocal model of the interaction, aiming at reproducing the experimental dispersion relation of helium, as measured by neutron scattering methods. This model is then used to perform Direct Numerical Simulations (DNS) of the Gross-Pitaevskii equation, in order to probe the reconnection of quantum vortices. This phenomenon is studied quantitatively through a geometrical and energetical analysis of the results of the DNS. We then systematically compare these results with those of the local model, so as to study the influence of rotons on flow scales of the order of the Angtstrom.The goal of the second part is to describe the spatio-temporal structure of homogeneous and isotropic turbulence. To achieve it we start by a standard analysis of the statistical properties of the eulerian velocity field, by computing its spatio-temporal increments. We use the data from a DNS of the Navier-Stokes equations, hosted and made available by the Johns Hopkins University. We then propose a random, spatio-temporal eulerian velocity field, by first characterizing the structure of its correlations through a gaussian approximation. This approximation is then modified by a multifractal measure in order to reproduce the non-gaussian features, as they are demanded by the observed high level of skewness and flatness of increments