Étude de méthodes numériques pour la couverture partielle et problèmes de switching avec incertitude sur les coûts

In this thesis, we give some contributions to the theoretical and numerical study to some stochastic optimal control problems, and their applications to financial mathematics and risk management. These applications are related to weak pricing and hedging of financial products and to regulation issues. We develop numerical methods in order to compute efficiently these quantities, when no closed formulae are available.In the first part, we study the partial hedging of European claims, and in particular the quantile hedging problem. In Chapter 3, when the market is linear, we show that it is possible to solve explicitly the optimal control problem, and that its value is a function of the law of the asset price at maturity. This formulation gives a new and simple proof for explicit formulae for the quantile hedging price of vanilla options in the Black & Scholes model. In addition, we compute a convergence rate for the approximation of the control problem by one with bounded controls. In Chapter 4, we consider a non-linear market, and we approximate the control problem by one where a control is admissible only if it is piecewise constant over time. We show the convergence when the time discretization parameter goes to 0. When the log-price follows a Brownian diffusion, we couple this time discretization with a spatial discretization using finite differences, and we show the convergence towards the value function. Some numerical applications are given, showing that the scheme converges, and that the theoretical conditions on the discretization parameters are also necessary in practice.The second part of this thesis is dedicated to the approximation of risk measures on the distribution of the future balance sheet of a bank or an insurance company. This problem comes from Solvency II, the insurance companies regulation. In a Gaussian model with stochastic rates, the company sells a financial product and hedges itself discretely in time. We develop a numerical method allowing efficient approximation, in moderate dimension, of the unknown distribution. We show that spectral risk measures, computed on the approximated distribution, converge to the risk measures computed on the unknown distribution. We give numerical applications showing the efficiency of the method, in comparison with the Nested Simulations approach.The third part is dedicated to the study of some switching problems with costs uncertainty. We introduce a new family of stochastic optimal control problems, generalising usual switching problems. We show, under classical hypotheses on the driver of the backward equation and under positive costs, that the value of these control problems is given by the Y component of the solution of some backward equations with oblique reflections. We deduce the uniqueness of the solutions to these equations, assuming that there exists a solution. We then show that the precedent equations actually admits solutions, in the case we call “uncontrolled” and “irreducible”, without assuming that the costs are positive. We give a geometric characterisation of the domain, with respect to the costs.Nous apportons dans cette thèse quelques contributions à l’étude théorique et numérique de certains problèmes de contrôle stochastique, ainsi que leurs applications aux mathématiques financières et à la gestion des risques financiers. Ces applications portent sur des problématiques de valorisation et de couverture faibles de produits financiers, ainsi que sur des problématiques réglementaires. Nous proposons des méthodes numériques afin de calculer efficacement ces quantités pour lesquelles il n’existe pas de formule explicite.Dans la première partie, nous étudions le problème de valorisation partielle d’options européennes, et en particulier le problème de sur-réplication avec probabilité p. Dans le chapitre 3, lorsque le marché est linéaire, nous démontrons qu’il est possible de résoudre explicitement le problème de contrôle optimal, et que la valeur de celui-ci s’écrit essentiellement en fonction de la loi du prix du sous-jacent à la date terminale. Cette formulation permet une nouvelle démonstration de formules explicites dans le modèle de Black & Scholes pour des options vanille. De plus, nous calculons une vitesse de convergence lors de l’approximation par un problème avec contrôles bornés.Dans le chapitre 4, nous considérons un marché non-linéaire, et nous approchons le problème par celui où l’on n’autorise que des contrôles constants par morceaux. Nous démontrons la convergence lorsque le pas de discrétisation temporelle tend vers 0. Lorsque la diffusion du log-prix du sous-jacent est brownienne, nous couplons cette discrétisation temporelle à une discrétisation spatiale par différences finies et démontrons la convergence vers la fonction valeur. Des applications numériques sont données, montrant que le schéma converge et montrant la nécessité pratique des conditions de compatibilité théoriques sur les paramètres de discrétisation.La seconde partie de cette thèse est consacrée à l’approximation de mesures de risques sur la distribution du bilan futur d’une banque ou d’une société d’assurance. Ce problème est issu de la réglementation des compagnies d’assurance Solvabilité II. Dans un modèle Gaussien à taux stochastiques, l’entreprise vend un produit financier et se couvre discrètement dans le temps. Nous développons une méthode numérique permettant le calcul efficace, en dimension modérée, de la distribution recherchée. Nous démontrons que les mesures de risque spectrales, calculées en la distribution approchée, convergent vers les mesures de risque sur la distribution inconnue. Nous donnons des applications numériques montrant l’efficacité de la méthode, en comparaison avec la méthodes des simulations imbriquées.La troisième partie est consacrée à l’étude de problèmes de switching avec incertitude sur les coûts. Nous introduisons une nouvelle famille de problèmes de contrôle stochastique qui généralisent les problèmes de switching usuels. Nous montrons, sous des hypothèses classiques pour le générateur de l’équation rétrograde, et sous l’hypothèse de positivité des coûts de changement d’état, que la valeur de l’un de ces problèmes de contrôle est donné par la composante Y de la solution d’une équation rétrograde avec réflexions obliques. Nous en déduisons l’unicité des solutions à ces équations, sous réserve d’existence. Nous montrons ensuite que les équations susdites admettent effectivement des solutions, dans le cas que nous appelons “non-contrôlé” et “irréductible”, sans hypothèse de positivité des coûts. Une description géométrique du domaine de réflexion est donnée, en fonctions des coûts