Las cónicas en métricas no euclidianas: una mirada desde la teoría de los modos de pensamiento/ The conics in non-Euclidian metrics: a look from the theory of the thought modes

Objective: This article describes the findings and conclusions of a research in mathematics didactics. In Chile, high school students (16 and 17) have difficulties in understanding the conics, given the weak articulation of representations of the types of theoretical and practical thoughts; they do not conceive the isolated conics of the usual metric. Given the cognitive nature of the problem, the theory of the Thinking Modes of Anna Sierpinska is used and it is proposed as a research objective to design a sequence of didactic activities that allows to move forward through different ways of thinking the conics, relating not usual metrics, so that graphic representations of them are not conceived as definitions. Methods: A qualitative approach was used within the interpretive-comprehensive paradigm. Questionnaires of open answers were applied to two groups made up of 17 students from third and 15 from fourth grade. Results: The sequence of didactic activities designed, articulates the practical and theoretical thoughts through the synthetic-geometric (practical thinking), analytical-arithmetic and analytic-structural (theoretical thinking) ways of thinking the conics, using two metrics, both non-Euclidean. The findings show that the students manage to relate the theoretical and practical thoughts, moving forward through different ways of thinking the conics, and generating understanding of the mathematical object. Conclusion: The evidences show that the types of thought coexist in the treatment of the conics with unusual metrics, as well as to demonstrate diverse transits between the ways of thinking, therefore, a deep (integral) understanding is achieved of the conics.Objetivo: Este artículo presenta los resultados y conclusiones de una investigación en didáctica de la matemática. En chile, los estudiantes de secundaria (16 y 17) tienen dificultades en la comprensión de las cónicas, dada la débil articulación de representaciones propias de los tipos de pensamientos teórico y práctico; ellos no conciben a las cónicas aisladas de la métrica usual. Dada la naturaleza cognitiva del problema se utiliza la teoría de los Modos de Pensamiento de Anna Sierpinska y se propone como objetivo de investigación diseñar una secuencia de actividades didácticas que permita el tránsito entre los distintos modos de pensar las cónicas, estos últimos articulados por métricas no usuales, para que las representaciones gráficas de ellas no sean concebidas como definiciones. Métodos: Se empleó un enfoque cualitativo dentro del paradigma interpretativo–comprensivo. Se aplicaron cuestionarios de respuestas abiertas a dos grupos conformados por 17 estudiantes de tercero y 15 de cuarto medio. Resultados: La secuencia de actividades didácticas diseñada, articula los pensamientos práctico y teórico a través de los modos sintético-geométrico (pensamiento práctico), analítico-aritmético y analítico-estructural (pensamiento teórico) de pensar las cónicas, utilizando dos métricas, ambas no euclidianas. Los resultados obtenidos muestran que los y las estudiantes logran articular los pensamientos teórico y práctico, transitando entre los distintos modos de pensar las cónicas, generando comprensión del objeto matemático. Conclusión: Las evidencias presentadas muestran que los tipos de pensamiento coexisten en el tratamiento de las cónicas con métricas no usuales   y, evidencian diversos tránsitos entre los modos de pensar (SG, AA y AE), por lo tanto, se logra una comprensión profunda (integral) de las cónicas