Commande Optimal dans les Espaces de Wasserstein

A wealth of mathematical tools allowing to model and analyse multi-agent systems has been brought forth as a consequence of recent developments in optimal transport theory. In this thesis, we extend for the first time several of these concepts to the framework of control theory.The first result presented in this manuscript is the generalization of the Pontryagin Maximum Principle, both in the absence and presence of constraints, to optimal control problems of multi-agent systems studied in the so-called mean-field approximation framework. The proof of this result relies on the generalization of techniques from geometric control theory to the setting of the Riemannian structure of the Wasserstein spaces. Subsequently, we investigate sufficient conditions for the Lipschitz-in-space regularity of mean-field optimal control. These results are generally crucial for ensuring the correspondence between the microscopic multi-agent systems and their macroscopic approximations. We obtain them by combining a mean-field approximation argument with an existence result for Lipschitz optimal feedbacks formulated for microscopic multi-agent models. Later on, we focus our attention on alignment models. We propose a convergence analysis based on Lyapunov-type arguments for cooperative systems subject to random communication failures. We further propose a sparse control strategy which allows to stir weakly-cooperative systems towards a state of almost-alignment. We finally present a result of sub-Riemannian geometry, in which we complete the classification of the generic singularities of the conjugate locus for contact distributions in dimension 3. This result is based on transversality arguments applied to the jets of the metric in a suitable neighbourhood of the origin.Une vaste quantité d'outils mathématiques permettant la modélisation et l'analyse des problèmes multi-agents ont récemment été développés dans le cadre de la théorie du transport optimal. Dans cette thèse, nous étendons pour la premi\`ere fois plusieurs de ces concepts à des problématiques issues de la théorie du contrôle. Le premier résultat présenté dans ce manuscrit est la généralisation du principe du maximum de Pontryagin aux problèmes de contrôle optimal multi-agent étudiés dans leur approximation par limite de champs moyen. La preuve de ces résultats repose sur la généralisation de techniques du contrôle géométrique au cadre de la structure Riemannienne des espaces de Wasserstein. Par la suite, nous investiguons des conditions suffisantes de régularité Lipschitz en espace pour les contrôles optimaux. Ces résultats sont généralement cruciaux pour assurer une correspondance stricte entre les modèles microscopiques et leurs approximations macroscopiques. Nous les obtenons en combinant une approximation par limite de champs moyens et un argument d'existence de feedback Lipschitz optimaux pour les modèles microscopiques sous-jacents.Nous nous intéressons ensuite aux modèles d'alignement. Nous proposons une analyse de convergence de type Lyapunov pour une classe de systèmes coopératifs présentant des défauts aléatoires de communication. Par la suite, nous présentons une stratégie de contrôle parcimonieuse permettant d'assurer la convergence de systèmes faiblement coopératifs vers un état de presque-alignement.Nous présentons enfin un résultat de géométrie sous-Riemannienne, dans lequel nous achevons la classification des singularités génériques du lieu conjugué pour les distributions de contact en dimension 3. Ce résultat se base sur des arguments de transversalité appliqués aux jets de la métrique au voisinage de l'origine