Development of a pore network model to perform permeability computations on X-ray computed tomography images.

Het doel van dit doctoraatsonderzoek is het bepalen van depermeabiliteit van poreuze stalen op basis van X-stralen computertomografie, kortweg CT. Het begrijpen van de vloeistofstroming doorporeuze media is van belang in tal van onderzoeksdomeinen enindustriële toepassingen. Zo speelt de stroming doorheen gesteentes eencruciale rol bij de exploitatie van olie, gas, water en geothermischereservoirs. Ook bij het zoeken naar en evalueren van geschiktegeologische formaties voor de berging van afval is inzicht in depermeabiliteit van die formatie en die van de omringende gesteenten vanessentieel belang. Andere onderzoeksdomeinen waarin een goed begrip vande vloeistofstroming cruciaal is, zijn hydrologie, bouwfysica,bodemkunde en bodemsaneringen. Eigenschappen die devloeistofstroming bepalen, zoals de permeabiliteit en capillaire druk,zijn moeilijk te meten. Dat kan gebeuren met labotests en geofysischeloggings, maar deze geven slechts meetresultaten bij één bepaaldeset van omstandigheden. Daarenboven geven ze slechts de permeabiliteitweer op bepaalde plaatsen uit bijvoorbeeld een reservoir of aquifer. Omde ruimtelijke variatie in permeabiliteit te bepalen, zijn een grootaantal metingen nodig. Hieruit volgt de behoefte aan een modelleringvan de vloeistofstroming. De permeabiliteit van materialenwordt voornamelijk bepaald door de geometrie van de poriënruimte enmeer bepaald door de poriëngrootteverdeling en de connectiviteit van deporiën. Met computer tomografie is het mogelijk om een beeld van hetinwendige van een staal, en dus ook van de geometrie van deporiënruimte, te bekomen. De techniek bestaat erin dat een bundelX-stralen doorheen het gescande object gestuurd worden. In het objectworden de X-stralen geattenueerd. De mate waarin de stralengeattenueerd worden, is afhankelijk van de densiteit en het atoomnumervan de materialen in het object. De verhouding tussen de in- enuitgaande intensiteit wordt weergegeven door de Wet van Beer: Hierinis I0 de oorspronkelijke intensiteit van de X-stralen bundel en I deintensiteit na doorgang door het object. µ is de lineaireattenuatiecoefficient van het materiaal en de integraal beschrijft hetpad dat de bundel doorheen het object gevolgd heeft. De intensiteit Ibevat dus informatie over de attenuatie langs het gevolgde trajectdoorheen het staal. Deze intensiteit wordt gemeten door een grootaantal detectorelementen. Door het object onder een groot aantal hoekente scannen, bekomt men informatie over de attenuatie langs veletrajecten door het object. Uit al die gemeten intensiteiten kan metbehulp van een reconstructie-algoritme de attenuatiecoëfficiënt µin elk punt van het object bepaald worden en op die manier wordt eenbeeld van het inwendige van het object bekomen. Eencruciale parameter bij CT scanning is de grootte van de bron aangeziendeze in grote mate de resolutie van de beelden bepaalt. Bij klassiekeCT scanners ligt de grootte van de bron in een orde van 100 µm.Zogenaamde µCT scanners werken met bronnen in een grootte-orde vanenkele tientallen micrometer. Daardoor kan een veel hogere resolutiebereikt worden. Dit gaat evenwel ten koste van de grootte van deobjecten die kunnen gescand worden. In dit onderzoekworden twee µCT scanners gebruikt van het Departement Metaalkundeen Toegepaste Materiaalkunde (MTM) van de K.U.Leuven: een Skyscan 1072Desktop µCT scanner en aan AEA Tomohawk µCT scanner. Degrootte van de stalen die in de Skyscan gebruikt kunnen worden, isbeperkt tot 54 mm. Bij de Tomohawk is dat 110 mm. Dekwaliteit van de CT beelden is uiteraard cruciaal voor een verdereberekening van de permeabiliteit op basis van die beelden. Debeeldkwaliteit wordt bepaald door vele factoren: het contrast en deresolutie van de beelden, de hoeveelheid ruis en scatter en het al danniet voorkomen van artifacten. Al deze factoren zijn nauw verbonden. Zozal het gebruik van een filter om beam hardening te minimaliseren, dehoeveelheid ruis vermeerderen. Het meest optimale beeld hangt af vanhet doel van de meting en van het gescande staal. Definiëren welkeacquisitieparameters resulteren in beelden van een goede kwaliteit kandaardoor niet ondubbelzinnig gebeuren. Het uitvoeren vantrial-and-error experimenten is vaak niet mogelijk aangezien deze zeerveel tijd vergen. Een simulator voor de CT scanner kan hierbij helpen. Eensimulator biedt de mogelijkheid om relatief snel een groot aantalexperimenten uit te voeren waarbij alle scanningsparameters kunnenaangepast worden. Hierdoor kan de invloed van de verschillendeparameters die de meting bepalen, onderzocht worden en kan nagegaanworden welke instelparameters bij een specifieke meting een optimaalbeeld opleveren. Daarnaast zijn bij een simulatie geen echte objectennodig en zijn de artificiële stalen in de simulator volledig gekend.Dat vergemakkelijkt een vergelijking tussen het gescande object en hetuiteindelijke CT beeld. Een 3D simulator voor de Skyscan1072 Desktop µCT scanner en de AEA Tomohawk µCT scanner werddaarom ontwikkeld. De simulator is gebaseerd op een 2D medische CTsimulator die in 2001 ontwikkeld werd aan het Universitair ZiekenhuisGasthuisberg door De Man (2001). De simulator leent zich niet enkel tothet uitvoeren van beeldoptimalisatie, maar laat de gebruiker ook toe omde impact van de verschillende instelparameters na te gaan. Dat steltde gebruiker in staat om in te schatten welke fouten ontstaan bij hetscannen en hoe groot deze fouten zijn. Het bekomen CTbeeld van een staal bevat grijswaarden die de attenuatiecoefficientvoorstellen. De poriën in het staal hebben een andere attenuatie dan dematrix en hebben dus ook een andere grijswaarde. Door middel van eensegmentatie-algoritme kan een beeld van de poriënruimte uit hetCT beeld geëxtraheerd worden. Dit gebeurt door een drempelwaardete definiëren en te stellen dat alle pixels met een grijswaarde lagerdan de drempelwaarde poriënruimte vertegenwoordigen. Deze krijgen dewaarde 1 . De pixels met een grijswaarde boven de drempelwaarde zijnmatrix-pixels en krijgen de waarde 0 . Op die manier ontstaat eenbinair beeld van de poriënruimte. Het bepalen van dedrempelwaarde is essentieel aangezien een fout beeld van deporiënruimte foute resultaten zal opleveren bij de verdere berekeningvan de permeabiliteit. Het zoeken naar een juiste drempelwaarde wordtbemoeilijkt door verschillende factoren. De eindige resolutie van CTbeelden zorgt ervoor dat de overgang tussen de poriën en de matrixuitgesmeerd wordt. En door beam hardening hangt de gereconstrueerdeattenuatiecoefficient van eenzelfde materiaal af van zijn positie inhet staal. Beide factoren bemoeilijken het gebruik van ééndrempelwaarde voor het gehele staal. De impact van deze factoren op desegmentatie werd nagegaan aan de hand van de CT simulator. Nahet segmenteren van het CT beeld in een beeld van de poriënruimte wordtde permeabiliteit berekend. Die kan berekend worden aan de hand van deNavier-Stokes vergelijkingen. Dit zijn partiëledifferentiaalvergelijkingen die de stroming van fluïda beschrijven.Omdat deze vergelijkingen niet analytisch op te lossen zijn, maakt menin de praktijk gebruik van een directe numerieke simulatie en lost mende vergelijking iteratief op. Wanneer voldoende kleine elementen in dedirecte numerieke simulatie gebruikt worden, nadert de bekomenoplossing de analytisch juiste oplossing. Het nadeel van deze methodeis dat ze bijzonder rekenintensief zijn. Grote stalen vergen daardoorveel geheugen en rekentijd. De in dit onderzoek gebruikte beelden zijnongeveer 1000x1000x1000 pixels groot. Zelfs met parallele computers isdit te groot om de vloeistofstroming doorheen het staal op die manierte modelleren. Daarom wordt eerst een netwerkmodel van deporiënruimte geconstrueerd. Hierin worden de poriën vervangen doorknopen. De knopen worden verbonden met links die de hydraulischeconnectiviteit tussen de poriën modelleren. Een dergelijk netwerk biedthet voordeel dat de poriënruimte sterk vereenvoudigd is. In plaats vande permeabiliteit van de gehele poriënruimte te bepalen, kan depermeabiliteit van het netwerk berekend worden door eerst de lokaleconductiviteiten van de links te berkenen. Hiervoor wordt teruggegrepennaar de directe numerieke simulatie. Aangezien de links relatief kleinzijn, vergen deze berekeningen relatief weinig geheugenruimte en tijd.Op die manier worden de voordelen van beide methodes gecombineerd. Nahet berekenen van de lokale conductiviteiten tussen de knopen in hetnetwerk, wordt voor elke knoop een vergelijking van behoud van massaopgesteld. Dit leidt tot een matrix-vergelijking waaruit de druk inelke knoop kan berekend worden voor een aangelegd drukverschil over hetstaal. Nu de druk in elke knoop en de conductiviteit tussen de knopengekend is, kan de vloeistofstroming doorheen het staal gemodelleerdworden en kan ook de permeabileit berekend worden. Bij de modelleringwordt uitgegaan van een steady state, laminaire stroming enniet-samendrukbare, Newtoniaanse vloeistoffen. Daardoor vereenvoudigende Navier-Stokes vergelijkingen tot de Stokes-vergelijkingen. Hetontwikkelde model werd gevalideerd door de bekomen permeabiliteit vanverschillende stalen te vergelijken met labometingen. Voor kleinestalen werd eveneens een modellering uitgevoerd aan de hand van eendirecte numerieke simulatie. Dit toonde aan dat de stroming in hetnetwerk model afwijkt van de werkelijke stroming doordat de stroming inhet netwerk van knoop naar knoop gaat. Ook de berekening van de lokaleconductiviteit van de links wijkt in sommige gevallen af van dewerkelijke conductiviteit doordat de randvoorwaarden niet altijd vooreen realistische weergave zijn van de vloeistroming in de link zorgen.Ondanks deze tekortkomingen lag de permeabiliteit bepaald door hetmodel in dezelfde grootte-orde als permeabiliteiten gemeten door eenlabo-opstelling en berekend met de directe numerieke simulatie. Hieruitkan geconcludeerd worden dat de ontwikkelde methode kan toegepastworden om een idee te verkrijgen van de permeabiliteit van een staal opbasis van CT beelden. Het is evenwel belangrijk om daarbij debeperkingen van de methode te onderkennen. Wanneer de resolutie van deCT beelden groter is dan de dimensies van de poriën in het staal, kande porieruimte niet accuraat gemodelleerd worden en kan bijgevolg geennauwkeurige permeabiliteitsberekening uitgevoerd worden.Table of contents iii List of figures vii List of tables xi List of symbols xiii List of abbreviations xv Summary xvii Nederlandse samenvatting xix 1 Introduction 1 1.1 X-ray computed tomography 1 1.2 Image segmentation 3 1.3 Pore network model 5 1.4 Scope and structure of this work 7 2 X-ray computed tomography 9 2.1 Data acquisition 10 2.1.1 X-ray source 10 2.1.2 X-ray attenuation 12 2.1.3 X-ray detector 13 2.2 Image reconstruction 14 2.3 Quality of CT images 16 2.3.1 Spatial resolution 16 2.3.2 Contrast resolution 18 2.3.3 Artifacts 18 2.3.3.1 Noise 18 2.3.3.2 Scatter 19 2.3.3.3 Beam hardening artifacts 19 2.3.3.4 Aliasing artifacts 21 2.3.3.5 Partial volume effect and the exponential edge-gradient effect 23 2.3.3.6 Ring and line artifacts 24 2.4 Computed tomography scanners 25 2.4.1 Skyscan 1072 Desktop µCT scanner 26 2.4.2 Tomohawk AEA µCT scanner 27 2.5 Description of the test samples 27 3 The CT Simulator 33 3.1 Development of the CT simulator 33 3.1.1 Monochromatic X-rays and a point source and point detector elements 34 3.1.2 Simulating the polychromatic X-ray spectrum 35 3.1.3 Simulating the finite sizes of the source and detector elements 36 3.1.4 Attenuation spectra of materials 37 3.1.5 Simulating the use of hardware filters 38 3.1.6 Intensity and attenuation averaging 38 3.1.7 Non linearity of the detector 39 3.1.8 Impact of the fluorescent screen and the optical lens 39 3.1.9 Noise 39 3.1.10 Scatter 41 3.2 Adjusting the simulator to the Skyscan µCT scanner 41 3.2.1 Linearity of the detector 41 3.2.2 The X-ray spectrum 42 3.2.3 Noise 43 3.2.4 Impact of the fluorescent screen 46 3.2.5 Determining the geometrical parameters 47 3.3 Demonstration of the CT simulator 51 3.3.1 Spatial resolution 51 3.3.2 Contrast resolution 52 3.3.3 Artifacts 53 3.3.3.1 Noise 53 3.3.3.2 Scatter 53 3.3.3.3 Beam hardening artifacts 53 3.3.3.4 Aliasing artifacts 55 3.3.3.5 Partial volume effect and the exponential edge-gradient effect 55 3.3.3.6 Optimization case 56 3.4 Optimization of CT image quality of the test samples 57 3.5 Conclusions 61 4 Image segmentation 63 4.1 Selection and evaluation of the segmentation method 63 4.1.1 Segmentation method 63 4.1.2 Shortcomings of the selected segmentation method 64 4.2 Validation of the threshold method 66 4.2.1 Sensitivity of the porosity to the threshold value 67 4.2.2 Impact of noise 69 4.2.3 Impact of beam hardening 69 4.2.4 Impact of the EEGE effect 71 4.2.5 Impact of the limited resolution 71 4.3 Conclusions 72 5 The pore network model 75 5.1 Construction of the pore network 76 5.1.1 Construction of an aperture map 77 5.1.2 Selecting and expanding the local maxima 78 5.1.3 Merge criterion for touching maxima 80 5.1.4 Construction of the network from the pore space partition 83 5.2 Computation of the local conductivities in the network 85 5.2.1 Fluid flow equations 85 5.2.1.1 The Navier-Stokes equations 85 5.2.1.2 Poiseuille’s law 86 5.2.1.3 Darcy’s law 87 5.2.2 Computation of the local conductivities using Poiseuille’s law 88 5.2.3 Computation of the local conductivities using a direct numerical simulation 89 5.2.3.1 Generation of the grid 89 5.2.3.2 Discretization of the equations 91 5.2.3.3 Boundary conditions 92 5.2.3.4 Numerical solution 94 5.3 Computation of the permeability of the network 95 5.4 Other applications of the pore network 97 5.4.1 Erosion and cementation 97 5.4.2 Mercury intrusion experiments 98 5.5 Conclusions 99 6 Validation of the pore network model 101 6.1 Permeability computation on artificial samples 101 6.1.1 Case 1 101 6.1.2 Case 2 103 6.1.3 Case 3 106 6.2 Comparison to direct numerical simulation 107 6.3 Comparison to laboratory measurements 110 6.3.1 Mercury intrusion experiments 110 6.3.2 Permeability measurements 112 6.4 Impact of the threshold value and resolution 113 6.4.1 Sensitivity of the permeability to the threshold value 113 6.4.2 Impact of the resolution 114 6.5 Validation of the simplification to cylindrical links in the link conductivity computation 114 6.6 Simulation of the impact of erosion and cementation on the permeability 116 6.7 Conclusions 116 7 Conclusions and perspectives 119 7.1 Conclusions 119 7.2 Recommendations and perspectives 122 References 125 A Mathematical derivations in the noise model 139 B Simulator parameters for the Tomohawk 143 C X-ray spectra measurements 145 D Assessment of the applicability of X-ray computed tomography in measuring the gold content of rock samples 147 D.1 Methodology 147 D.2 Evaluation of the proposed methodologies 149 Dankwoord 153status: publishe