Méthode de Mahler en caractéristique non nulle.

This thesis is part of Number Theory. It deals with transcendence and algebraic independence of values of Mahler functions over function fields of characteristic p>0. The starting point of this thesis is to prove the equivalence between algebraic independence of values of Mahler functions at algebraic points and that of the functions themselves. One of our main motivations is the fruitful observation due to L. Denis that it is possible to reach special numbers (periods of Drinfeld modules) as values of Mahler functions in positive characteristic. We show that every homogeneous algebraic relation between values of solutions of Mahler systems, which generate regular extensions, at nonzero algebraic regular numbers, arises as specialization of an homogeneous algebraic relation between the functions themselves. This is the analogue of the work of P. Philippon and B. Adamczewski and C. Faverjon, and a refinement of a fundamental theorem from Ku. Nishioka, when K is a number field. Thus, the study of algebraic independence between values of Mahler functions turns into that between the functions themselves. But algebraic Mahler functions over function fields of positive characteristic are not necessarily rational, contrary to the number fields case. Transcendence of Mahler functions in this framework still remains mysterious. Nevertheless, we state that this dichotomy is still valid for d-Mahler functions, when p does not divide d. Moreover, we prove a Kolchin theorem that provides a sufficient condition for algebraic independence of inhomogeneous Mahler functions of order 1, along with a characterization of the transcendence of such functions. Finally, we are interested in algebraic independence measures of values of Mahler functions in positive characteristic. We suggest an approach, based on a recent work of E. Zorin in characteristic zero, which would give such qualitative results in our contextCette thèse se situe dans le domaine de la théorie des nombres. Elle traite de la transcendance et de l'indépendance algébrique de valeurs de fonctions mahlériennes définies sur des corps de fonctions de caractéristique p>0. La problématique de cette thèse est l'établissement de l'équivalence entre l'indépendance algébrique de valeurs de fonctions mahlériennes aux points algébriques et celle des fonctions elles-mêmes. L'une de nos motivations est l'observation fructueuse de L. Denis selon laquelle il est possible en caractéristique non nulle de déformer des nombres remarquables (périodes de modules de Drinfeld) comme valeurs de fonctions mahlériennes. Nous démontrons notamment que toute relation algébrique homogène entre valeurs, en un point algébrique non nul régulier, de solutions d'un système mahlérien engendrant une extension régulière, provient de la spécialisation d'une relation algébrique homogène entre les fonctions elles-mêmes. Il s'agit de l'analogue de travaux de P. Philippon et de B. Adamczewski et C. Faverjon et d'un raffinement d'un théorème fondamental de Ku. Nishioka, dans le cas où K est un corps de nombres. Ainsi, l'étude de l'indépendance algébrique des valeurs de fonctions mahlériennes se ramène à celle des fonctions elles-mêmes. Cependant, contrairement à la caractéristique nulle, une fonction mahlérienne algébrique n'est pas nécessairement rationnelle et la transcendance de fonctions mahlériennes dans ce contexte demeure encore mystérieuse. Néanmoins, nous établissons que cette dichotomie reste valide pour les fonctions d-mahlériennes, où p ne divise pas d. Par ailleurs, nous démontrons un théorème de type Kolchin qui fournit une condition suffisante à l'indépendance algébrique de fonctions mahlériennes d'ordre 1 inhomogène ainsi qu'une caractérisation de la transcendance de telles fonctions. Enfin, au-delà de ces résultats qualitatifs, nous nous intéressons aux mesures d’indépendance algébrique entre valeurs de fonctions mahlériennes en caractéristique non nulle et proposons une approche, inspirée de travaux récents de E. Zorin en caractéristique nulle, qui permettrait d’obtenir de tels résultats quantitatif