Kısmi türevli diferansiyel denklemlerin LIE Sistemleri üzerine

Diferansiyel denklemlerin klasik teorisinde, nokta dönü ümlerine ek olarak, de me (birinci mertebe tanjant) dönü ümleri, hareketlerin Hamilton denklemlerinin integrasyonunun Hamilton-Jacobi teorisinde kullanım oldukça fazladır ve mekanikte kanonik dönüşümler olarak bilinir. Keyfi Hamilton-Jacobi denklemleri, uygun bir kanonik dönüşüm ile kolayca integre edilebilen daha basit kanonik biçimlere indirgenebilir. Böylece kanonik dönüşümler kümesi bir grup oluşturur, bu nedenle, Hamilton-Jacobi teorisi mekanik problemleri değme dönüşümleri altında grup teorisine indirger. Lie, diferansiyel denklemler için değme dönüşümlerini temel alan bir teori geliştirdi. Lie'nin yaklaşımında, sürekli gruplar infinitesimal dönüşümler (üreteçler) ile belirlenir ve bir infinitesimal üreteç verildiğinde grup dönüşümleri, nokta dönüşümlerinde olduğu gibi çözümünün varlığı sadece regüler noktaların küçük komşuluklarında garanti olan Lie denklemleri ile bulunur. Bu kavram simetri grubu kavramıyla diferansiyel denklemlere genişletilebilir ve diferansiyel denklemlerin simetri grubu, verilen diferansiyel denklemin çatısını, türevlerdeki genişleme ile değişmez bırakan dönüşüm gruplar olarak ele alınır