Itseisesti ja ehdollisesti suppenevat sarjat.

Sarjateoria on tärkeä matemaattisen analyysin osa-alue, jolla on monenlaisia sovelluksia. Tässä tutkielmassa keskitytään itseisesti ja ehdollisesti suppeneviin sarjoihin. Tarkastelu alkaa lukujonojen ja päättymättömien sarjojen määrittelyllä. Päättymättömäksi sarjaksi kutsutaan järjestettyä paria missä on reaalilukujono ja sarjan osasummien muodostama jono. Sarjojen suppeneminen tai hajaantuminen on tärkeä ominaisuus, jota tarvitaan itseisesti ja ehdollisesti suppenevien sarjojen käsittelyssä. Päättymätön sarja suppenee itseisesti, jos sen termien itseisarvojen muodostama sarja suppenee. Lisäksi jokainen itseisesti suppeneva sarja on automaattisesti suppeneva. Itseistä suppenevuutta voidaan tutkia erilaisten suppenemistestien avulla. Näistä esitetään vertailutesti, vertailutestin raja-arvomuoto, integraalitesti, osamäärätesti ja juuritesti. Jos päättymätön sarja suppenee, mutta sen termien itseisarvojen muodostama sarja hajaantuu, suppeneminen on ehdollista. Ehdollisesti suppenevien sarjojen yhteydessä tutustutaan mm. alternoivien sarjojen testiin ja sarjojen uudelleenjärjestelyihin. Termien uudelleenjärjestely vaikuttaa eri tavoin itseisesti ja ehdollisesti suppeneviin sarjoihin. Itseisesti suppenevan sarjan termien uudelleenjärjestely ei vaikuta sarjan suppenemiseen, ja sarjan summa pysyy muuttumattomana. Tutkielman tärkein tulos on ns. Riemannin uudelleenjärjestelylause. Sen mukaan ehdollisesti suppeneva sarja voidaan uudelleenjärjestelyn avulla saada suppenemaan kohti mielivaltaisesti valittua reaalilukua. Tutkielman päälähteenä on käytetty E.D. Gaughanin teoksen Introduction to Analysis lukua 6: Infinite series rajoittuen itseisesti ja ehdollisesti suppeneviin sarjoihin. Toinen tärkeä lähdeteos on ollut W. Fulksin Advanced Calculus ja siinä luku 14: Infinite series