Ryhmien perusominaisuuksista

Tämän työn luvussa 2 perehdytään abstraktin algebran keskeiseen käsitteeseen ryhmään ja joihinkin sen perusominaisuuksiin. Ryhmä on epätyhjän joukon sekä laskutoimituksen muodostama tietyt ehdot toteuttava algebrallinen struktuuri. Ryhmän lisäksi määritellään puoliryhmä, monoidi ja Abelin ryhmä eli kommutatiivinen ryhmä. Ryhmän ja puoliryhmän käsitteiden määrittelyn jälkeen esitetään kolme lausetta, joiden avulla voidaan todeta, onko puoliryhmä ryhmä. Työn loppupuolella määritellään ryhmän kertaluku, alkion potenssi ja alkion kertaluku. Lopuksi esitetään alkion kertalukuun liittyvä lause. Lukijalta edellytetään käsitteen suurin yhteinen tekijä sekä jakoalgoritmin tuntemisen lisäksi perustietoja joukoista, relaatioista, kuvauksista ja laskutoimituksista (engl. binary operations). Tämän työn uvussa 1 on esitetty luettelonomaisesti ryhmää käsittelevän tarkastelun kannalta keskeisiä relaatioita, kuvauksia ja laskutoimituksia koskevia määritelmiä, lauseita ja esimerkkejä. Tarvittaessa lukija voi perehtyä edellä lueteltuihin esitietoina edellytettyihin asioihin luvussa 1 esitettyä paremmin kirjan Fundamentals of Abstract Algebra [5] sivuilta 1 - 54. Tässä työssä seurataan pääosin kirjan Fundamentals of Abstract Algebra [5] esitystä. Kirjan esityksestä on poikettu niissä kohdin, missä sen on katsottu olevan tarkoituksenmukaista