Ryhmäteoriaa

Tutkielmassa tarkastellaan algebran alaan kuuluvaa ryhmäteoriaa. Tarkastelu alkaa algebrallisen struktuurin ja ryhmän käsitteiden määrittelyllä. Aliryhmät muodostavat usein hyvin mielenkiintoisia rakenteita. Syklinen ryhmä on ryhmistä yksinkertaisin, sillä sellaisen ryhmän generoi (virittää) yksi ainoa ryhmän alkio. Lagrangen lause ilmaisee aliryhmien mahdolliset kertaluvut, mutta ei riitä tällaisten aliryhmien olemassaolon todistamiseen. Normaalit aliryhmät puolestaan ovat siinä mielessä tärkeitä, että niiden avulla voidaan määritellä tekijäryhmä. Tekijäryhmän käsite jäsentää ryhmän alkioita ja niiden välisiä suhteita aivan uudella tavalla. Ryhmähomomorfismi on ryhmien välinen kuvaus, joka säilyttää ryhmien rakenteen. Ryhmäisomorfismi on homomorfismi, joka on samalla bijektio. Homomorfismien avulla kuvataan ryhmien välisiä suhteita, mikä voi paljastaa ryhmistä uusia ominaisuuksia. Ryhmähomomorfismin ja -isomorfismin käsitteiden varaan rakennetaan muutamia lauseita, jotka laajentavat näkemystä ryhmien välisistä suhteista. Tässä todistetaan ryhmähomomorfismien peruslause (the fundamental theorem of homomorfisms for groups) eli ensimmäinen isomorfialause, toinen ja kolmas isomorfialause sekä vastaavuuslause (correspondence theorem). Äärellisten ryhmien analysoinnissa tarvitaan usein välineitä esimerkiksi lukumäärien laskemiseen. Tähän tarkoitukseen sopii ryhmän vaikutusten (group actions) käsite. Ryhmien suoran tulon avulla puolestaan pienemmistä ryhmistä voidaan muodostaa suurempi tai suurempi ryhmä voidaan ilmaista aitojen aliryhmiensä yhdistelmänä. Sylowin ensimmäinen lause osoittaa, minkä kertaluvun omaavia aliryhmiä äärellisellä ryhmällä on. Sylowin toinen lause kertoo, että ryhmän kaikki niinsanotut p-aliryhmät ovat toistensa konjugaatteja, ja lopuksi Sylowin kolmas lause antaa keinon p-aliryhmien lukumäärien laskemiseen. Työn lopussa tarkastellaan ratkeavia ja nilpotentteja ryhmiä, jotka liittyvät eräänlaisiin ryhmien muodostamiin ketjuihin (sarjoihin). Työssä on käytetty päälähteenä teosta Malik, D. S., Mordeson, J. N., Sen, M. K., Fundamentals of Abstract Algebra, McGraw-Hill, 1997, 636 s. Tarkastelua on laajennettu kahdeksan muun lähdekirjan avulla. Tutkielman kirjoittaja on havainnollistanut työtä ratkaisemillaan lukuisilla päälähteen tehtävillä ja kahdella itse laatimallaan esimerkillä.Käytetyt merkinnät Johdanto 1 Ryhmän määrittely 2 Aliryhmät ja normaalit aliryhmät 2.1 Aliryhmien määrittely 2.2 Sykliset ryhmät 2.3 Lagrangen lause 2.4 Normaalit aliryhmät ja tekijäryhmät 2.5 Aliryhmän määräämä kongruenssirelaatio 3 Ryhmähomomorfismit ja -isomorfismit 3.1 Ryhmähomomorfismit 3.2 Isomorfia- ja vastaavuuslauseet 4 Ryhmän vaikutukset 5 Ryhmien ulkoiset ja sisäiset suorat tulot 6 Sylowin lauseet 6.1 Konjugaattiluokat 6.2 Cauchyn lause ja p-ryhmät 6.3 Sylowin lauseet 7 Ratkeavat ja nilpotentit ryhmät 7.1 Ratkeavat ryhmät 7.2 Nilpotentit ryhmät 8 Loppukommentit Kirjallisuu