On the internal categories within the category of crossed modules

Gruplar homotopi tipi 1 olan irtibatlı topolojik uzayların bir cebirsel modeli iken, çaprazlanmış modüller ise homotopi tipi 2 olan irtibatlı topolojik uzayların bir cebirsel modelidir. Çaprazlanmış modüller ilk olarak Whitehead tarafından tanımlanmışlardır. Daha sonra, Brown ve Spencer gruplar üzerindeki çaprazlanmış modüllerin kategorisi ile grupların kategorisindeki iç grupoidlerin (diğer adıyla grup-grupoidlerin) kategorisinin denk olduğunu göstermişlerdir. Bu tez çalışmasında benzer düşünce yapısı ile önce çaprazlanmış modüllerin kategorisindeki iç kategoriler karakterize edilip bunların aslında birer iç grupoid olduğu gösterilmiştir. Son olarak ise çaprazlanmış kare olarak adlandırılan çaprazlanmış modüllerin üzerindeki çaprazlanmış modüllerin kategorisinin çaprazlanmış modüllerin kategorisindeki iç grupoidlerin kategorisine denk olduğu gösterilmiştir.Crossed modules are algebraic models of connected topological spaces of homotopy type 2 while groups are algebraic models of connected topological spaces of homotopy type 1. Crossed modules were originally defined by Whitehead. Brown and Spencer showed that the category of the crossed modules on the groups is equal to the category of the internal groupoids (also called group-groupoids) in the category of groups. In this thesis study by a similar thought, first of all internal categories in the category of crossed modules are characterized and it has been shown that that these are actually internal groupoids. Finally, it has been shown that the category of crossed modules of the crossed modules called crossed squares equivalent to the category of internal groupoids in the category of crossed modules