Mapping of invariant quantum systems via deformation of classical fields.

Em nosso trabalho, estudamos sistemas de campos escalares reais ordinários. Analisamos as configurações estáticas, o que nos levam a equações diferenciais de segunda ordem não lineares. As soluções dessas equações, chamadas de defeitos, podem possuir um caráter topológico, nos levando a dois tipos de defeito: topológicos e não topológicos. Em seguida, falamos sobre o método de Bogomol’nyi, que, para potenciais não-negativos, nos possibilita solucionar as equações de movimento por meio de uma equação diferencial de primeira ordem. Estudamos a estabilidade da solu¸cao atrav´es de perturba¸coes a ordem linear em torno dela, oque possibilita separar a equa¸c˜ao de movimento do campo perturba¸cao, em parte temporal e parte espacial. Dessa segunda parte chegamos ao que chamamos operador flutuação, que governa as oscilações quânticas em torno da solução clássica. Se procedimento pode ser invertido, isto é, é possível construir modelos clássicos de campos, partindo da equação de estabilidade, o que é de suma importância para o objetivo da nossa pesquisa. No nosso trabalho fizemos a reconstrução dos modelos clássicos para vários sistemas quânticos, identificando suas hamiltonianas como operadores flutuação. Um outro ponto abordado, foi o método de deformação. Através dele é possível realizar o mapeamento entre potenciais de campos escalares, via uma função deformação. Esse novo potencial, o potencial deformado, é descrito em termos do potencial inicial e de suas soluções. O método permite gerar uma infinidade de modelos novos com características distintas dos originais, mas permite, até certo ponto, controlar características como a energia e a largura dos defeitos. Em seguida, revisamos a mecânica quântica supersimétrica e os seus potenciais parceiros supersimétricos. Esses potenciais são obtidos por meio da fatorização das hamiltonianas, sendo possível criar toda uma hierarquia de hamiltonianas, que apresenta uma degenerescência do espectro de energia. Certos potenciais parceiros apresentam uma característica especial, chamada de invariância de forma. A invariância de forma é obtida fazendo uma mudança nos parâmetros do potencial, o que leva a um potencial de mesmo formato, mas com um acréscimo de energia. Essa propriedade é uma condição de integrabilidade, o que garante que sistemas quânticos baseados em potenciais invariantes de forma são solucionáveis. No presente trabalho buscamos estabelecer um novo tipo de mapeamento, entre potenciais quânticos com invariância de forma, utilizando a deformação de campos clássicos. Uma outra característica muito interessante dos potenciais invariantes de forma, e que foi ponto de partida para o presente trabalho, é que todos os potenciais invariantes de forma conhecidos, podem ser mapeados entre eles por meio de transformações canônicas, dos parâmetros e coordenadas pontuais. Para isso, fizemos o mapeamento entre os potenciais supersimétricos, reconstruímos um modelo de campo para cada potencial e fizemos o mapeamento dos modelos de campos, por meio do método de deformação. Desta maneira, conseguimos uma relação fechada envolvendo uma parte clássica e uma quântica.In our work, we study systems of ordinary real scalar fields. We analyze the static configurations, which lead us to nonlinear second order differential equations. The solutions of these equations, called defects, may have a topological character, leading to two types of defect: topological and non-topological. Next, we talk about the Bogomol'nyi method, which, for non-negative potentials, enables us to solve the equations of motion by means of a first-order differential equation. We study the stability of the solution through perturbations to the linear order around it, which makes it possible to separate the equation of motion from the perturbation field, in temporal part and spatial part. From this second part we arrive at what we call the fluctuation operator, which governs the quantum oscillations around the classical solution. If the procedure can be inverted, that is, it is possible to construct classical models of fields, starting from the stability equation, which is of paramount importance for the purpose of our research. In our work we reconstructed the classical models for several quantum systems, identifying their Hamiltonian as flotation operators. Another point discussed was the deformation method. Through it it is possible to perform the mapping between scalar field potentials via a deformation function. This new potential, the deformed potential, is described in terms of the initial potential and its solutions. The method allows to generate a multitude of new models with characteristics different from the originals, but allows, to some extent, to control characteristics such as energy and width of defects. We then review supersymmetric quantum mechanics and their potential supersymmetric partners. These potentials are obtained through the factorization of the Hamiltonians, being possible to create an entire hierarchy of Hamiltonians, which presents a degeneration of the energy spectrum. Certain potential partners have a special feature, called form invariance. Form invariance is obtained by making a change in the potential parameters, which leads to a potential of the same shape, but with an increase of energy. This property is a condition of integrability, which ensures that quantum systems based on form invariant potentials are solvable. In the present work we seek to establish a new type of mapping between quantum potentials with form invariance, using classical field deformation. Another very interesting feature of the shape invariant potentials, which was the starting point for the present work, is that all known invariants can be mapped to each other by means of canonical transformations, parameters and point coordinates. For this, we mapped the supersymmetric potential, reconstructed a field model for each potential, and mapped the field models using the deformation method. In this way, we achieve a closed relationship involving a classical and a quantum part.Cape