On Automatic Differentiation of Codes with COMPLEX Arithmetic with Respect to Real Variables

1 1 Introduction 1 2 Complex Numbers and Functions 2 2.1 Complex Arithmetic Rules : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 2.2 Transcendental Functions : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 2.3 SQRT() : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 3 Branch Cuts and Riemann Sheets 7 3.1 Ln() : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 3.2 sqrt() : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 3.3 The Power Function, x y : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8 4 COMPLEX Computations in Fortran 77 11 5 Complex Differentiation Rules 12 5.1 Gradient Rules for the Reciprocal, 1=x : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 13 5.2 Gradient Rules for ln() : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 14 5.3 Gradient Rules for SQRT() : : : : : ..