Computer-assisted proofs for a nonlinear Laplace-Beltrami equation on the sphere

In this study, we prove the existence and local uniqueness of radially symmetric solutions of nonlinear partial differential equations via a rigorous numerical method. We introduce the concepts of Banach spaces of geometrically decaying sequences and explore the domains of convergence of the Taylor and Chebyshev expansions. These notions constitute the basis for the Radii Polynomial Theorem on Banach spaces of infinite sequences, which is the main tool employed to obtain the proofs by using a combination of Taylor and Chebyshev coefficients of the solutions. We also introduce briefly the notions of interval analysis to justify the rigor of our computer-assisted results.Dans cette étude, nous prouvons l'existence et l'unicité locale de solutions d'ÉDPs non linéaires et symétriques via une méthode numérique. Nous introduisons des concepts sur les espaces de Banach de suites à décroissance géométrique et explorons les domaines de convergence des séries de Taylor et de Chebyshev. Ces notions constituent les bases du Théorème du Polynôme de Rayons sur les espaces de Banach de suites infinies, qui sera l'outil principal pour obtenir les preuves en utilisant une combinaison de coefficients de Taylor et de Chebyshev. Nous introduisons également des notions de base sur l'analyse d'intervalle pour justifier la rigueur des résultats obtenus numériquement