La ecuación de Navier-Stokes y multifractales

There is currently no general theorem on the existence and unicity of solutions tothe Navier-Stokes equation, which describes the flow of a viscous and incompressiblefluid. This is an open problem at the international level, known as the millenniumprize problem, for which the Clay Institute of France is offering one million dollarssince may 2000.The purpose of this article is to present a brief revision of the most importantaspects of the evolution and current status of the problem. Our contribution is theanalytical description of turbulence, fully developed, through the resolution rates andthe features of multifractal processes, as a collection of generalized Cantor processes.We present four models for the distribution of velocity variations. The first one isbased on the life times and risk functions for the interaction between the vortices andtheir later fragmentation in ever smaller and more numerous vortices. The secondone is based on potentiated Bernoulli tests, and we found the number of features,the spectrum, and the structure function. We found the relationship of the shapeparameters with the box dimension of the maximum spectrum as well as with thelocal dimensions and we described qualitatively the associated tree.The above-mentioned rates serve as support, not only for the description of athree-dimensional model of intermittent turbulence that generalizes the Kolmogorovparadigmatic result, but also for the energy transferred in each stage of the fractalizationprocess, and also for the number of characteristic exponents, which producesa higher level for Hausdorff’s dimension of the set of singularities of the solution.Keywords: Navier-Stokes, turbulence, intermittency, multifractals, velocity gradients.No existe, en la actualidad, un teorema general sobre la existencia y la unicidadde las soluciones de la ecuaci´on de Navier-Stokes, la cual describe el flujo de un fluidoviscoso e incompresible. ´Este es un problema abierto a nivel internacional, llamadoel Problema del Premio del Milenio, por el cual el Instituto Clay de Francia est´aofreciendo 1 mill´on de d´olares, desde mayo de 2000.Nuestro prop´osito, con el presente art´?culo, es presentar una revisi´on breve sobrelos aspectos m´as importantes de la evoluci´on y estado actual del problema.Nuestro aporte es la descripci´on anal´?tica de la turbulencia, completamente desarrollada,a trav´es de las tasas de la resoluci´on y de los rasgos de procesos multifractal,como una colecci´on de procesos de Cantor generalizados. Presentamos cuatro modelospara la distribuci´on de las variaciones de la velocidad; el primero lo basamos en lostiempos de vida y funciones de riesgo para la interacci´on entre los v´ortices y su posteriorfragmentaci´on en v´ortices cada vez m´as peque˜nos y m´as numerosos; el segundo,se basa en las pruebas de Bernoulli potenciadas, y encontramos el n´umero de rasgos,el espectro y la funci´on de estructura. Encontramos la relaci´on de los par´ametros deforma con la dimensi´on caja del m´aximo del espectro; como tambi´en, con las dimensioneslocales. Y, describimos cuantitativamente el ´arbol asociado.Las tasas mencionadas nos sirven de soporte, no s´olo, para la descripci´on deun modelo tridimensional de turbulencia intermitente, que generaliza el resultadoparadigm´atico de Kolmogorov; sino adem´as, la energ´?a transferida en cada etapa delproceso de fractalizaci´on; como tambi´en, el n´umero de los exponentes caracter´?sticos,el cual produce una cota superior para la dimensi´on de Hausdorff del conjunto desingularidades de las soluciones.Palabras clave: Navier-Stokes, turbulencia, intermitencia, multifractales, gradientes develocidad