The upper secondary school pupils’ perceptions of negative numbers and what strategies are made visible in their calculations : A phenomenographic study

Från en tidig ålder får barn lära sig att använda positiva tal. De kan lägga ihop två tal och få ett större tal eller dra ifrån ett tal från ett annat för att få ett mindre tal. Till exempel får småbarn lära sig att två plus två äpplen blir fyra äpplen och att om man har tre päron och tar bort två får man ett päron kvar. Man kan på ett konkret sätt se det framför sig. Något som inte är lika självklart är tal som t ex. fyra minus fem. Hur kan man ha fyra päron och dra ifrån fem? Negativa tal dyker sällan dyker upp i vardagliga problem, men det är fortfarande något som lärs ut i skolan. Syftet med arbetet som beskrivs i denna rapport är att undersöka gymnasieelevers uppfattningar om negativa tal och som teoretiskt ramverk används den fenomenografiska ansatsen. För att ta reda på vilka olika uppfattningar elever kan ha intervjuades åtta eleversom går sitt andra år på gymnasiet (och läser Matematik 2b). Undersökningen ämnade svarapå följande frågeställning: Hur uppfattar gymnasieelever negativa tal och vilka strategiersynliggörs i deras beräkningar? Vilka skilda beskrivnings-kategorier om negativa tal går detatt urskilja. En kvalitativ undersökning gjordes av materialet med hjälp av en fenomenografisk analys. Efter analysen gick det att särskilja fem distinkt olika beskrivningskategorier, där alla kategorier, utom den sista, leder till att eleven använder någon form av strategi för att underlätta beräkningar med negativa tal: (1) Minus minus blir plus, (2) Negativa tal förklaras med metaforer, (3) Uträkningar blir lättare om termerna i ett uttryck flyttas om, (4) Negativa tal håller till på andra sidan noll och (5) Upplever en osäkerhet kring negativa tal. Resultatet kan hjälpa matematiklärare förstå de utmaningar elever står inför beräkningar med negativa tal. Exempelvis att eleverna inte tycker det falla sig naturligt eller tillräckligt att beskriva ett tal som negativt, vilket kan bottna i att de är vana att matematik kan förklaras med konkreta exempel. Det är något som matematiklärare borde vara medvetna om.From an early age we learn to use positive numbers. We can put two numbers together and get a bigger number or subtract a number from another to get a smaller number. For example,young children learn that two plus two apples will be four apples and that if you have three pears and remove two you have one pear left. It is easy to visualize the numbers in front of you. Something that is not as obvious is calculations such four minus five. How can one have four pears and subtract five? Negative numbers rarely appear in everyday problems, but it is still something we are required to learn in school. The purpose of the work described in this report is to examine the upper secondary school pupils' perceptions of negative numbers and as the theoretical framework a phenomenographic approach is used. To find out what different perceptions pupils may have about negative numbers, eight pupils were interviewed. They were all in their second year in upper secondary school and study mathematics at the (Swedish) level 2b. The survey intended to answer the following question: How do upper secondary school students perceive negative numbers and what strategies are made visible in their calculations? What different categories of descriptions about negative numbers can be distinguished? A qualitative study was preformed of the collected material using a phenomenographic analysis. After the analysis, five distinctly different description categories could be distinguished, where all categories, except the last one, results in the student using some form of strategy as help when performing calculations containing negative numbers: (1) Minus minus becomes plus, (2) Negative numbers are explained by metaphors, (3) Calculations become easier if the terms in an expression are moved around, (4) Negative numbers are on the other side zero, and (5) Experience of uncertainty about negative numbers. The results can help math teachers understand the challenges students face when calculating with negative numbers. For example, the pupils do not think it is natural or enough to describe a number as negative, which may be because they are used to mathematics which can beexplained by concrete examples. This is something that math teacher should be aware of