Etude d'un problème d'interaction fluide-structure : modélisation, analyse, stabilisation et simulations numériques

This PhD thesis deals with the study of a fluid-structure interaction system. We are interested in several aspects such as modelling, stabilization and numerical simulation. In the first chapter of the manuscript, we show the modelling of the system and prove the existence of strong solutions in small times. The fluid is modelled by the incompressible Navier- Stokes equations. The structure is deformable and depends on a finite number of parameters. The equations are obtained with a virtual work principle. The final system of equations is nonlinear. We prove local existence of a solution to this system, first on the linearized system. Then, existence of solutions in small times to the full nonlinear system is obtained with a fixed point argument. In the second chapter, we prove feedback stabilization of the problem around a non-null stationary state. The feedback operator is computed with the solution to a Riccati equation obtained by the analysis of the linearized problem around the stationary state. The stabilization result holds on the full nonlinear system and requires small data. It is proven by a fixed point argument. In the third chapter, we focus on the numerical aspects of the problem. The feedback operator used corresponds to a discretization of the feedback operator of Chapter 2. The solution to the full nonlinear system is computed by the use of a fictitious domain method.Ce travail de thèse porte sur l'étude d'un système d'interaction fluide-structure. Nous en traitons de nombreux aspects allant de sa modélisation jusqu'à l'étude de sa stabilisation et de sa simulation numérique. Le premier chapitre du manuscrit aborde la modélisation du système ainsi que l'existence de solutions fortes en temps petits. Le fluide est représenté par les équations de Navier-Stokes incompressibles. La structure est déformable et dépend d'un nombre fini de paramètres. Nous obtenons ses équations en appliquant un principe des travaux virtuels. Le système d'équations final est non linéaire. Nous prouvons l'existence locale d'une solution à ce système, dans un premier temps sur le système linéarisé autour de l'état nul. Puis, nous prouvons l'existence de solutions en temps petits au système non linéaire grâce à un argument de point fixe. Le deuxième chapitre traite de la stabilisation par feedback autour d'un état stationnaire non nul du système présenté dans le Chapitre 1. L'opérateur de feedback est déterminé à partir de l'analyse du problème linéarisé autour de l'état stationnaire et de la résolution d'une équation de Riccati. Le résultat de stabilisation portant sur le système non linéaire requiert des données petites et est obtenu par un argument de point fixe. Le troisième chapitre se concentre sur les aspects numériques de ce problème. La construction de l'opérateur de feedback correspond à la version discrétisée de celle proposée dans le Chapitre 2. Le système fluide-structure est simulé en utilisant une méthode de domaines fictifs