Méthodes de Boltzmann sur réseau pour la simulation numérique de certains systèmes d'advection-réactiondiffusion provenant de la physique et de la biologie, et analyse mathématique et numérique de problèmes issus du domaine biomédical cardio-vasculaire

In this thesis, we develop and analyze numerical techniques based on the lattice Boltzmann method LBM) for solving systems of nonlinear advection-diffusion-reaction equations from physics and biology. Wi BM, problems relating to averaged quantities (density, potential, velocities, etc.) are expressed at the particle scale. We approach the solution of Boltzmann equation relating to the behavior of a particle field and then we recompose the averaged quantities solutions of treated systems. In the first part, we develop an appropriate general framework to deal with several types of non-linear systems (parabolic, elliptic, or coupled, with real or complex variables), with applications to models such as Burger-Fisher, fluid flow in a porous medium, Helmoltz, Patlar-Keller-Segel, or Schrodinger. For each problem, we analyze the asymptotic behavior of the method, when the number of Knudsen tends to zero (by the development of Chapman-Enskog) and we perform the numerical analysis of convergence and stability of the method. In the second part, we have taken an interest in a realistic problem of cardio-vascular electrophysiology. We adapt the developed LBM method to approach e solutions of a bidomain type system for simulating the behavior of electrical potentials and ionic interactions in myocardial region. The study and modeling of this type of problem is a major health issue in the treatment of pathologies related, for example, to cardiac arrhythmia. Since our goal is to obtain realistic behaviors, we introduce time-delay operators into this coupled system in order to take into account delay in signal transmissions. Once the existence and uniqueness of solution have been demonstrated, we propose a series of simulations with realistic physical and biological parameters to validate the proposed method.L'objectif de cette thèse est de développer et d'analyser des techniques numériques basées sur la méthode e Boltzmann sur réseau (LBM) pour résoudre des systèmes non linéaires de type advection-réaction-diffusion provenant de la physique et de la biologie. Avec la LBM, des problèmes portant sur des quantités moyennées densité, potentiel, vitesse, etc) sont exprimés à l'échelle particulaire. Nous approchons la solution de l'équation e Boltzmann relative au comportement d'un champs de particules puis nous recomposons les quantités moyennées solutions des équations traitées. Dans un premier temps, nous développons un cadre général approprié permettant de traiter plusieurs types de systèmes non linéaires (paraboliques, elliptiques, ou couplées ' variables réelles ou complexes), avec des applications à des modèles tels que Burger-Fisher, écoulement de fluides en milieu poreux, Helmoltz, Patlar-Keller-Segel, ou encore Schrodinger. Pour chaque problème, nous analysons le comportement asymptotique de la méthode, quand le nombre de Knudsen tend vers zéro (par le développement de Chapman-Enskog) et nous effectuons l'analyse numérique de la convergence et de la stabilité de la méthode. Dans un deuxième temps, nous nous intéressons à un problème réaliste d'électrophysiologie cardio-vasculaire. Nous adaptons la méthode LBM développée pour approcher les solutions d'un système de type bidomaine permettant de simuler le comportement de potentiels électriques et les interactions ioniques ans la région du myocarde. L'étude et la modélisation d'un tel type de problème est un enjeu sanitaire majeur ans le traitement des pathologies liées par exemple à l'arythmie cardiaque. Notre but étant d'obtenir des comportements réalistes, nous introduisons au sein de ce système bidomaine des opérateurs de retard afin de tenir compte des temps de retard dans les transmissions de signaux. Une fois l'existence et l'unicité de la solution démontrées, nous proposons une série de simulations avec des paramètres physiques et biologiques réalistes afin de valider la méthode proposée