Rigidité locale des variétés à pointes hyperboliques II. Théorie non-linéaire

This paper is the second in a series of two articles whose aim is to extend a recent result of Guillarmou-Lefeuvre on the local rigidity of the marked length spectrum from the case of compact negatively-curved Riemannian manifolds to the case of manifolds with hyperbolic cusps. In this second paper, we deal with the nonlinear version of the problem and prove that such manifolds are locally rigid for nonlinear perturbations of the metric that decrease sufficiently at infinity. Our proof relies on the linear theory addressed in the first paper and on two new ingredients: an approximate version of the Livsic Theorem and a careful analytic study of the operator $\Pi_2$, the generalized X-ray transform. In particular, we prove that the latter fits into the microlocal theory introduced by Bonthonneau and further developed by Bonthonneau-Weich, Bonthonneau-Lefeuvre.Cet article est le deuxième d’une série de deux articles dont l’objectif est d’étendre un résultat récent de Guillarmou et Lefeuvre concernant la rigidité locale du spectre marqué des longueurs des variétés compactes de courbure négative, au cas des variétés à pointes hyperboliques. Dans ce deuxième papier, nous considérons la version non-linéaire du problème, et nous prouvons que de telles variétés sont localement rigides pour des perturbations de la métrique qui décroissent assez vite à l’infini. Notre preuve repose sur la théorie linéaire décrite dans le premier article, et deux nouveaux ingrédients : une version approchée du Théorème de Livsic, et une étude détaillée de l’opérateur $\Pi_2$, qui généralise la transformée en rayon X. En particulier, nous prouvons que ce dernier peut être traité grâce à la théorie microlocale développée par le premier auteur et T.Weich, et dans notre premier article