Approximants de Hermite-Padé, déterminants d'interpolation et approximation diophantienne

Jury: Amoroso, Bugeaud (rapporteur), David, Laurent, Oesterlé, Waldschmidt, Wielonsky (rapporteur)This thesis deals with transcendence and diophantine approximation related to the values of exponential functions. In the first part, we prove various relationships between coefficients of Hermite-Padé approximants, Hermite polynomials and certain cofactors of a generalized Vandermonde determinant. We then use the concept of the height of a matrix (which we bound using the relationships established in the first part) to give a new proof of the transcendence of $e$. These results then enable us to obtain new results in diophantine approximation such as a lower bound on the distance between the exponential of an algebraic number to another algebraic number in terms of a bound on the respective absolute logarithmic Weil heights. Finally, we give some exceptional estimates, such as a minimum for $|e^(b)-a^(c)|$ ($b$ and $c$ non negative integers) for various rational numbers $a$.Cette thèse aborde des sujets d'approximation diophantienne et de transcendance liés aux fonctions exponentielles. Il est tout d'abord établit des liens entre les coefficients d'approximants de Hermite-Padé, ceux de polynômes d'interpolation de Hermite et certains cofacteurs d'un déterminant de Vandermonde généralisé. Nous utilisons ensuite la notion de hauteur d'une matrice (que nous majorons grâce aux liens précédemment fournis) afin de donner une nouvelle démonstration de la transcendance de $e$. Ces résultats nous permettent finalement d'obtenir de nouveaux énoncés d'approximation diophantienne tels que la minoration de la distance de l'exponentielle d'un nombre algébrique (de hauteur absolue logarithmique de Weil bornée) à un autre nombre algébrique (lui aussi de hauteur absolue logarithmique de Weil bornée) en fonction de ces mêmes bornes. Il est ensuite donné, pour différentes valeurs de nombres rationnels $a$, quelques estimations remarquables telles que le minimum, sur l'ensemble des entiers non nuls $b$ et $c$, de la distance $|e^(b)-a^(c)|$