Un produit de permutations invariantes par conjugaison a les mêmes petits cycles qu'une permutation uniforme

We use moment method to understand the cycle structure of the composition of independent invariant permutations. We prove that under a good control on fixed points and cycles of length 2, the limiting joint distribution of the number of small cycles is the same as in the uniform case i.e. for any positive integer k, the number of cycles of length k converges to the Poisson distribution with parameter 1/k and is asymptotically independent of the number of cycles of length k' different from k.En utilisant la méthode des moments, nous étudions la structure en cycles de la composition de permutations invariantes par conjugaison indépendantes. Nous montrons que, sous réserve d'un bon contrôle du nombre de points fixes et de cycles de longueur 2, la loi jointe limite du nombre de petits cycles est la même que pour une permutation uniforme : pour tout entier k fixé, le nombre de cycles de longueur k converge en loi vers une variable de Poisson de paramètre 1/k et est asymptotiquement indépendant du nombre de cycles de longueur k' pour k' différent de k